Teoria liczb

Teoria liczb
Wykłady i ćwiczenia
Semestr letni 2016/2017
ćwiczenia/wykład 4
Zadanie domowe
• Niech 𝑐 = 𝑎4 + 4𝑏 4 , 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑍 − {0}. Sprawdź,
że jeśli 𝑎 ≠ ±1 lub 𝑏 ≠ ±1, to 𝑐 jest liczbą
złożoną.
• Niech 𝑎, 𝑏 = 𝑝 ∈ 𝑃. Znajdź 𝑎2 , 𝑏 , (𝑎2 , 𝑏 2 ),
𝑎3 , 𝑏 , (𝑎3 , 𝑏 2 ) (𝑃 – zbiór liczb pierwszych).
• Z jakim wykładnikiem liczba 2 występuje
2𝑛
w rozkładzie kanonicznym liczby 5 − 1 ?
Zadanie 1
Pokaż, że w ciągu 31, 331, 3331, … istnieje
nieskończenie wiele liczb złożonych.
Zadanie 2
Niech 𝑝 będzie liczbą pierwszą. Wykaż, że liczby
2𝑝 + 3𝑝 nie można przedstawić w postaci 𝑎𝑚 ,
gdzie 𝑎, 𝑚 ∈ N, 𝑚 > 1 .
Zadanie 3
rekordzistka wśród liczb pierwszych
M74207281
22,338,618
• ilość cyfr
• ostatnia cyfra
• pierwsza cyfra
2016
Intel I7-4790 CPU
Cooper, Woltman,
Kurowski, Blosser,
et al. [GIMPS,
PrimeNet]
Zadanie 4
Niech 𝑀𝑛 = 2𝑛 − 1 będzie 𝑛-tą liczbą Mersenne’a.
Udowodnij, że
a) 𝑀𝑛 , 𝑀𝑘 = 𝑀(𝑛,𝑘)
b) 𝑀𝑛 |𝑀𝑘  𝑛|𝑘
Zadanie domowe
• Znajdź wzór na przedostatnią cyfrę liczby
naturalnej 𝑛.
• Sprawdź, że istnieje nieskończenie wiele liczb
pierwszych postaci 6𝑛 + 1. (przyjrzyj się
dowodowi twierdzenia 6)
• Zadanie ze slajdu nr 3.
• Zadanie ze slajdu nr 4.
• Zadanie 4a, slajd nr 6.
Liczby pierwsze – wzory
Poszukujemy funkcji:
• 𝑓: 𝑁 → 𝑃, na, najlepiej 𝑓 𝑛 = 𝑝𝑛
• 𝑓: 𝑁 → 𝑁, 1-1, 𝑓(𝑛) ∈ 𝑃 dla nieskończenie
wielu 𝑛
Liczby Mersenne’a
MATHEMATICA
Hipoteza
Istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych
Mersenne’a.
Liczby Mersenne’a
i historia komputerów
Liczby Mersenne’a
i historia komputerów
127
2
1
Algorytm Lucasa-Lehmera
𝑝 ∈ 𝑃; 𝑟1 = 4, 𝑟𝑛 = (𝑟𝑛−1 ) 2 − 2, 𝑑𝑙𝑎 𝑛 ≥ 2
𝑝 ∈ 𝑃; 𝑀𝑝 |𝑟𝑝−1 ↔ 𝑀𝑝 ∈ 𝑃
Zamiast 𝑟𝑛 można brać reszty z dzielenia przez 𝑀𝑝 .
Program do testowania
pierwszości liczb Mersenne’a
Przypomnienie z algebry
• Rząd grupy, rząd elementu.
• Rząd podgrupy dzieli rząd grupy (uproszczona
wersja twierdzenia Lagrange’a).
• Rząd elementu dzieli rząd grupy; 𝑔𝑟𝑧(𝐺) = 1,
gdzie 1 to element neutralny działania w G;
𝑔𝑛 = 1 → 𝑟𝑧 𝑔 |𝑛
• Jeśli 𝑔 ∈ 𝐺 − 1 , 𝑔𝑝 = 1, 𝑝 ∈ 𝑃, to 𝑝 jest
rzędem elementu g.
𝒁𝒎 = {𝟎, 𝟏, … , 𝒎 − 𝟏}
+𝑚 dodawanie modulo 𝑚
∙𝑚 mnożenie modulo 𝑚
𝑍𝑚 z powyższymi działaniami jest pierścieniem
+3
0
1
2
3
0
1
2
0
0
1
2
0
0
0
0
1
1
2
0
1
0
1
2
2
2
0
1
2
0
2
1
Twierdzenie 7
M p rp 1  M p  P
Liczby Fermata: 𝑭𝒏 =
𝒏
𝟐
𝟐
+𝟏
P = pierwsza
C = złożona
Test Pepina
Fn  P  Fn 3
Fn 1
2
1
Dzielniki pierwsze
liczb Mersenne’a i liczb Fermata
Twierdzenie 8
Jeśli 𝑝, 𝑞 ∈ 𝑃 − 2 , 𝑞|2𝑝 − 1, to 𝑞 = 2𝑘𝑝 + 1 dla
pewnej liczby naturalnej 𝑘.
Twierdzenie 9
Jeśli 𝑝 ∈ 𝑃, 𝑝|𝐹𝑛 , to 𝑝 = 2𝑛+1 𝑘 + 1 dla pewnej
liczby naturalnej 𝑘.
Liczby pierwsze jako wartości wielomianów
o współczynnikach całkowitych
Twierdzenie 10
Istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych
postaci 4𝑘 + 3.
Twierdzenie 11 (uogólnienie twierdzenia
Goldbacha) (bez dowodu)
Jeśli 𝑤 ∈ 𝑍 𝑥 oraz deg(𝑤) ≥ 1, to dla każdego
𝑘 ∈ N istnieje takie 𝑛 ∈ N, że liczba dzielników
𝑤(𝑛) jest większa od 𝑘.
Wzory egzotyczne:
wzór Regimbala
𝑛 > 1
Wzory egzotyczne:
wzór Regimbala
Wzory egzotyczne – wzór
Sierpińskiego
\[Element]
\[NotElement]


Kolokwium i egzamin
1. Udowodnij, że jeśli 2m + 1 jest liczbą pierwszą, to
m = 2n dla pewnej liczby całkowitej nieujemnej n.
2. Pokaż, że w ciągu {10n + 3: nN} istnieje
nieskończenie wiele liczb złożonych.
3. Korzystając z równości 𝑀𝑛 , 𝑀𝑘 = 𝑀(𝑛,𝑘) , podaj inny
dowód nieskończoności zbioru liczb pierwszych.