Krótki kurs geometrii płaszczyzny
advertisement
Krótki kurs geometrii płaszczyzny Edyta Kazimierczak Klasa III e Geometria Dział ten zajmujący się badaniem właściwości figur płaskich można określić jako geometria płaszczyzny. Płaszczyzna jest powierzchnią nieograniczoną, zawiera nieskończenie wiele punktów i dzieli przestrzeń na dwie części. Intuicja płaszczyzny przedstawiana jest nam od dziecka poprzez obrazowanie płaszczyzny jako powierzchni stołu, czy kartki papieru rozciągającej się w nieskończoność. Każda płaszczyzna ma następującą własność: przez trzy punkty, nie leżące na jednej prostej, zawsze można poprowadzić tylko jedną płaszczyznę. Rodzaje kątów Kąty przyległe mają w sumie 180o. Kąty wierzchołkowe są równe. Kąty odpowiadające wyznaczone przez proste równoległe są równe. Kąty naprzemianległe wyznaczone przez proste są równe. TRÓJKĄTY ostrokątny prostokątny rozwartokątny α < 90° β < 90° δ < 90° C = 90° α + β = 90° 90° < α < 180° α < 90° i β < 90° α = β = 45° C = 90° α = β, α < 90° β < 90° 90° < δ < 180° Nie ma takiego trójkąta Nie ma takiego trójkąta równoboczny (dowolny) równoramienny α = β, α < 90° β < 90°, δ < 90° równoboczny α = 60° Symetralną boku trójkąta nazywamy prostą prostopadłą do tego boku, przechodzącą przez jego środek. Każdy trójkąt ma trzy symetralne boków, przecinające się w jednym punkcie, który jest środkiem koła opisanego na tym trójkącie Dwusieczna kąta jest to półprosta dzieląca kąt na połowy. Każdy trójkąt ma trzy dwusieczne przecinające się w jednym punkcie, który jest środkiem koła wpisanego w trójkąt. Każdy trójkąt ma trzy wysokości. Symetria Symetria osiowa symetria względem prostej Symetria środkowa symetria względem punktu Opis wielokątów Równoległobok Romb Prostokąt Kwadrat Deltoid kąty boki przekątne Przeciwległe kąty równe Przeciwległe boki równe i równoległe Przekątne dzielą się na połowy Przeciwległe kąty równe Wszystkie boki równe, przeciwległe boki równoległe Przekątne dzielą się na połowy i są prostopadłe Wszystkie kąty proste Przeciwległe boki równe i równoległe Wszystkie kąty proste X Wszystkie boki równe, przeciwległe boki równoległe Dwie pary sąsiednich boków równych Przekątne są równe i dzielą się na połowy Przekątne są równe, dzielą się na połowy i są prostopadłe Przekątne są prostopadłe. Kąt wpisany oparty na średnicy okręgu jest prosty Okrąg Kąt wpisany ma dwa razy mniejszą miarę niż środkowy oparty na tym samym łuku. Kąty wpisane oparte na tym samym łuku są równe Styczna do okręgu jest prostopadła do promienia okręgu poprowadzonego do punktu styczności. Okrąg opisany na wielokącie Na wielokącie można opisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy symetralne wszystkich jego boków przecinają się w jednym punkcie. Punkt przecięcia tych symetralnych jest środkiem okręgu opisanego na tym wielokącie. Wielokąt nazywamy wpisanym w okrąg (czyli okrąg jest opisany na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie jego wierzchołki leżą na pewnym okręgu. Okrąg wpisany w wielokąt W wielokąt wypukły można wpisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy dwusieczne wszystkich jego kątów wewnętrznych przecinają się w jednym punkcie. Punkt przecięcia wszystkich dwusiecznych jest środkiem okręgu wpisanego w wielokąt. Wielokąt nazywamy opisanym na okręgu (czyli okrąg jest wpisany w wielokąt), wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie jego boki są styczne do pewnego okręgu. CECHY PRZYSTAWANIA TRÓJKĄTÓW Przykłady Cechy Jeżeli boki jednego trójkąta są przystające (równe) do odpowiednich boków drugiego trójkąta, to te trójkąty są przystające. Jeżeli dwa boki i kąt między nimi zawarty jednego trójkąta są przystające (równe) do odpowiednich boków i kąta zawartego między nimi w drugim trójkącie, to te trójkąty są przystające. Jeżeli bok i dwa kąty do niego przyległe jednego trójkąta są przystające (równe) do odpowiedniego boku i kątów do niego przyległych w drugim trójkącie, to te trójkąty są przystające. Nazwa Wzór na pole Wzór na obwód Kwadrat a2 4a Rysunek a a Prostokąt Równoległobok Romb a·b b 2· (a + b) a a·h1 2· (a + b) b h1 a a·h a 4a a b Trapez ab h 2 a + b + c +d c d a Trójkąt ah 2 a+b+c c b a Zadania… Zadanie 1 Oblicz miarę kata A1BA2. Kąt A1OA2 = 360o – 200o = 160o Kąt A1BA2 = 360o – (160o + 90o + 90o) = 360o – 340o = 20o Odp.: Miara kąta A1BA2 wynosi 20o Zadanie 2 Oblicz miarę kąta ABO, wiedząc że kąt ABP ma miarę 30o. Kąt ABO = 30o · 2 = 60o Odp.: Miara kąta ABO jest równa 60o . Zadanie 3 Ile osi symetrii mają poniższe znaki drogowe? nieskończenie wiele 4 osie symetrii 1 oś symetrii 0 osi symetrii Dziękuję za obejrzenie mojej prezentacji!