Zmienne losowe jednowymiarowe 1. Sprawdź, które z poniższych

Zestaw 4: Zmienne losowe jednowymiarowe
1. Sprawdź, które z poniższych funkcji są dystrybuantami. Wyznacz ich gęstości, o ile istnieją.




x ¬ 0,
0, x ¬ 0,
1,
F1 (x) = x,
F2 (x) = x, 0 ¬ x < 2,
F3 (x) = 1 − x, 0 ¬ x < 1,




2, 2 ¬ x,
0,
1 ¬ x,

(
(

x < 0,
0,
0, x ¬ 0,
0, x < 0,
F5 (x) =
F6 (x) = 0.5, 0 ¬ x < 1,
F4 (x) =

1, x > 0,
1, x ­ 0,

1,
1 ¬ x,
(
(
(
0,
x < 1,
0,
x < 1,
0,
x < 1,
F8 (x) =
F9 (x) =
F7 (x) = 1 1
1
1
1
−
1
−
−
,
1
¬
x,
,
1
¬
x,
,
1 ¬ x.
2
x
x
2x
2. Zmienna losowa X ma gęstość f (x) = 1[0,1] (x). Wyznacz gęstości i dystrybuanty zmiennych losowych:
Y1 = X + 1,
Y6 = exp(X),
Y2 = 2X,
Y7 = − ln(X),
Y8 = |X −
√
Y4 = X 2 ,
Y3 = −X,
1
2 |,
Y9 = (X −
Y5 =
1 2
3) ,
X,
X10 = X −1 .
3. Zmienna losowa X ma rozkład wykładniczy z λ = 1. Znajdź dystrybuantę zmiennych losowych Y =
max(X, 1), Z = min(X, 1).
4. Zmienna losowa X ma rozkład wykładniczy z parametrem λ = 3. Znaleźć rozkład prawdopodobieństwa
zmiennej Y = g(X), jeśli


x < 1,
1,
g(x) = 2, 1 ¬ x < 3,


3, 3 ¬ x.
5. Zmienna losowa X ma ciągłą i ściśle rosnącą dystrybuantę F . Znaleźć rozkład zmiennej losowej F (X).
6. Niech X będzie zmienną losową o rozkładzie jednostajnym na przedziale [0, 1] oraz niech F będzie
ciągłą i ściśle rosnacą dystrybuantą. Znaleźć rozkład zmiennej losowej F −1 (X).
7. Niech X1 , . . . , Xn będą niezależnymi zmiennymi losowymi. Wyznacz dystrybuantę zmiennych losowych
Y = min(X1 , . . . , Xn ),
Z = max(X1 , . . . , Xn ).
Co można powiedzieć o gęstościach Y i Z, jeśli rozważane zmienne losowe są ciągłe. Co więcej można
powiedzieć, jeśli założymy, że X1 , . . . , Xn mają takie same rozkłady?