Metody probabilistyczne Dwuwymiarowa zmienna losowa Zmienna

Dwuwymiarowa zmienna losowa
• Badanie pewnej zbiorowości ze względu na dwie cechy
Metody probabilistyczne
• Zmienną losową określamy jako: (X,Y)
Wykład 5: Dwuwymiarowa zmienna losowa.
• Dystrybuanta zmiennej losowej w punkcie (x,y):
Małgorzata Krętowska
F(x,y)=P(X<x, Y<y)
Wydział Informatyki
Politechnika Białostocka
e-mail: [email protected]
1
Zmienna (X,Y) typu dyskretnego
2
Rozkłady brzegowe zmiennej dyskretnej
• Rozkład brzegowy zmiennej X
• Funkcja rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej (X,Y)
P(X = xi, Y = yk) = pik przy czym
∑∑ pik = 1
i
• Dystrybuanta
F ( x, y) =
∑∑p
pi• = ∑ pik = P ( X = xi ) i ∈ N
k
k
• Rozkład brzegowy zmiennej Y
p•k = ∑ pik = P (Y = yk ) k ∈ N
ik
x i < x yk < y
i
• Dystrybuanty rozkładów brzegowych
F1( x) =
∑p
xi < x
3
i•
F1( y) =
∑p
•k
yk < y
4
Rozkłady warunkowe zmiennej dyskretnej
Niezależność zmiennych losowych
• Rozkład warunkowy zmiennej X
Zmienne losowe X i Y są niezależne, gdy
p
P ( X = xi | Y = y k ) = ik
p• k
pik = pi• p•k
• Rozkład warunkowy zmiennej Y
dla każdego i i k.
p
P (Y = y k | X = xi ) = ik
p i•
5
Zmienna losowa (X,Y) ciągła

y
F ( x, y) = ∫  ∫ f (u , v) du  dv, dla

− ∞
 −∞
6
Rozkłady brzegowe zmiennej ciągłej
x
• Rozkład brzegowy zmiennej X:
(x , y ) ∈ R 2
∞
∫ f ( x, y) dy
f1(x ) =
Własności:
• f(x,y) jest funkcją gęstości, gdy:
−∞
• Rozkład brzegowy zmiennej Y:
∞ ∞
∫ ∫ f ( x , y ) dxdy =1
∞
f 2 ( y) =
−∞ −∞
∫ f ( x, y ) dx
−∞
• Dystrybuanty rozkładów brzegowych:
y
x
F1( x) =
∫ f (u ) du
1
−∞
7
F2 ( y ) =
∫f
2
(v )dv
−∞
8
Niezależność zmiennych ciągłych
X, Y są niezależnymi zmiennymi losowymi, wtedy gdy
• korzystając z dystrybuanty:
F(x,y)=F1(x)F2(y)
• korzystając z gęstości
f(x,y)=f1(x)f2(y)
• korzystając z rozkładów warunkowych
F(y/x)=F2(y), F(x/y)=F1(x)
9