Nieznane funkcje (signum, cecha, mantysa)

Nieznane funkcje (signum, cecha, mantysa)
[π][e] + [e] = [e][π] + [π].
1. Wykaza¢, »e zachodzi równo±¢:
2. Rozwi¡za¢ równanie
3. Rozwi¡za¢ równanie
4. Rozwi¡za¢ równanie
3x−7 5
x+3 2
p
=
6x−9
7 .
= [x − 2].
[x] = x − 2.
5. Rozwi¡za¢ równanie
2[x3 ] − [7x2 ] − [5x] + 4 = {x}.
6. Rozwi¡za¢ równanie
[x2 ] + 3[x] − 4 = 2{x}.
7. Rozwi¡za¢ równanie
[x3 ] + [x2 ] + [x] = {x} − 1.
8. Rozwi¡za¢ równanie
x
[x]
9. Rozwi¡za¢ równanie
−
1
x
+
[x]
x
= 2.
x+2 [x − 1] = 2 .
10. Rozwi¡za¢ równanie
(x2 −1)(|x|+1)
x+sgn(x)
11. Rozwi¡za¢ równanie
1
{ x−1
2 } = 3.
= [x + 1].
12. Rozwi¡za¢ nierówno±¢
[2x + 5] < 32 .
13. Rozwi¡za¢ nierówno±¢
{x + 12 } > 23 .
15. Rozwi¡za¢ równanie
3x+4
[ x+3
4 ]=
7 .
p
2x − [x] = 1.
16. Rozwi¡za¢ równanie
[x3 ] − [5x2 ] − [2x] + 8 = x.
14. Rozwi¡za¢ równanie
x3 − [x] = 3.
√
√
[ 1] + [ 2] + . . . + [ 999999].
√
√
√
[ 1] + [ 2] + . . . + [ n2 − 1].
17. Rozwi¡za¢ równanie
√
18. Obliczy¢ sum¦
19. Obliczy¢ sum¦
k
n+2
n+4
n+2
[ n+1
2 ] + [ 4 ] + [ 8 ] + . . . + [ 2k+1 ] + . . . .
√
[(2 + 3)2007 ] jest liczb¡ nieparzyst¡.
20. Obliczy¢ sum¦
21. Pokaza¢, »e
22. Udowodni¢, »e dla dowolnej liczby naturalnej n liczba
23. Udowodni¢, »e istnieje taka liczba naturalna n taka, »e
√
3)n ] jest nieparzysta.
√
(2 + 3)n > 0, 99
. . . 9} .
| {z
[(2 +
2007
24. Obliczy¢ cz¦±¢ caªkowit¡ liczby
1+
25. Obliczy¢ cz¦±¢ caªkowit¡ liczby
1
√
3
4
26. Obliczy¢
Pn−1 ka+b k=0
n
√1
2
+
+
1
√
3
5
√1
3
+ ... +
+ ... +
√1 .
106
1
√
.
3
106
.
27. Udowodni¢, »e je±li p,q s¡ liczbami naturalnymi wzgl¦dnie pierwszymi, to zachodzi równo±¢
p−1 X
kq
k=1
p
=
1
(p − 1)(q − 1).
2
28. Udowodni¢, »e je»eli p,q s¡ liczbami naturalnymi wzgl¦dnie pierwszymi i p>q, to
Pp
h
k=1
29. Obliczy¢, iloma zerami ko«czy si¦ zapis dziesi¦tny liczby 2007!.
30. Udowodni¢, »e dla dowolnych liczb naturalnych n i m liczba
1
(2n)!(2m)!
n!m!(n+m)!
jest caªkowita.
kq
p
i
<
Pq
k=1
h
kp
q
i
.