Bez tytułu slajdu

Konstrukcje
rozkładów poprzez
składanie funkcji
odwrotnych
Jolanta Grala-Michalak
Wydział Matematyki i Informatyki
UAM Poznań
Ogólny opis rozważanej
klasy rozkładów
H: , różnowartościowa,
H(0) = 0
h(x) = H’(X) > 0 dla każdego x
Z = T, ( X , ) = H (  H-1 (X , ) )
Z ma jednowymiarowy rozkład ciągły
= 0,  - małe  T(X)    h(0)  H-1(X)
= 0,  - duże  T(X/)  H (X/h’(0))
Jones, Pewsey 2009
Johnson 1949
rozkład Su
Rieck, Nedelman 1991
rozkład sinh-normalny
ZN (0,1)
T (X) =   sinh (X)
Z = T (X) ,
1
T-funkcja nieparzysta
logarytmiczno-wklęsła
gęstość
W szczególności:
1
T (X)= arcsin h (X)
dwumodalna gęstość
Rozkład sinh-arcsinh
S ,
X ,
ZN(0,1)
S-1,
Z = S ,(X ,) = sinh{arcsinh(X)}
X = S-1 ,(Z ,) = sinh{(arcsinh(Z)+)/}
Gęstość rozkładu sinh-arcsinh
f, (x) = (2)-1/2(1+x2 )-1/2 C, (x)exp{-(1/2)S2, (x)}
 - parametr skośności
 < 1 „grube ogony”
 > 1 „lekkie ogony”
F, =  (S , (x))
(S , )2 + (C , )2 = 1
S ,(X ,) = sinh{arcsinh(X)}
C,(X ,) = cosh{arcsinh(Z)}
Gęstość rozkładu sinh-arcsinh
y
0.5
 = 3,  = 2
0.375
 = 1,  = 1
0.25
 = 1,  = 0,5
0.125
0
-5
-2.5
0
2.5
5
7.5
10
x
 = 0,  = 0,2
Abe Sklar, 1959
Def. Dwuwymiarową kopułą (funkcją kopułową, łącznikiem)
nazywamy funkcję
C: I2  I=[0,1]
Spełniającą następujące warunki:
a) C jest niemalejąca ze względu na u i v.
Jeśli u1  u2 i v1  v2, to
C (u2,v2) – C (u2,v1) – C (u1,v2) + C (u1,v1)  0;
b) Dla każdego u i v ze zbioru I :
C (u,1) = u, C (1,v) = v
C (u,0) = C (0,v) = 0.
Własności kopuł
Tw. Niech C będzie kopułą. Wtedy
a) C(u2, v2)- C(u1, v1 )   u2 – u1 +  v2 – v1 ,
skąd wynika jednostajna ciągłość w dziedzinie.
b) Poziomy, pionowy i diagonalny rzut kopuły w punkcie a, czyli
funkcje tC(t,a), tC(a,t), tC(t,t), są niemalejące i
jednostajnie ciągłe na [0,1].
c) 0  C(u,v)/ u  1, istnieje dla prawie wszystkich u i jest
niemalejąca względem v
d) 0  C(u,v)/ v  1, istnieje dla prawie wszystkich v i jest
niemalejąca względem u
Twierdzenie Sklara o istnieniu funkcji
kopułowej, 1959
Niech H będzie 2-wymiarową dystrybuantą łącznego rozkładu z
brzegowymi dystrybuantami F and G. Wtedy istnieje kopuła C
taka, że dla wszystkich x, y z przedziału [-, ],
H ( x, y )  C ( F ( x), G ( y )) .
Jeśli F i G są funkcjami ciągłymi, wtedy C jest wyznaczona
jednoznacznie w całej dziedzinie; w przeciwnym wypadku, tylko
na zbiorze
{ (x,y): F(F-1(x))=x i G(G-1(y))=y }.
I na odwrót, jeśli C jest kopułą i F oraz G są dystrybuantami
jednowymiarowymi, to funkcja H zdefiniowana powyższym
wzorem jest dystrybuantą łącznego rozkładu z brzegowymi
dystrybuantami F i G.
Kopuła (łac. łącznik), łączy rozkłady
jednowymiarowe w dwuwymiarowy
Wniosek. Kopuła jako:
a) „scale invariant measure”
C(u,v) = H( F-1 (u), G-1 (v) ) ,
gdzie F-1 (t) = inf { x : F(x)  t} = sup { x : F(x)  t}
b) element zbioru częściowo uporządkowanego
C1  C2 jeśli u,v[0,1] : C1 (u,v)  C2 (u,v)
c) miara „niezależności”
C =   H(x,y) = F(x) G(y) x,y[-,+]
Kopuła z 2-wymiarowego rozkładu
sinh-arcsinh-normalnego
X  sinh-arcsinh-norm(1 ,1)
Y  sinh-arcsinh-norm(2 ,2)
Corr(X,Y) =
1
 

H(x, y)

2
 R exp 
xy
2
F(x)G(y)
1  

1 ρ
ρ 1



H S 1  1 (u ) , S  2  1 (v)
 -
2
1

C(u, v) 
uv








Kopuła z p-wymiarowego rozkładu
sinh-arcsinh-normalnego
 = 1/2
1 = 1, 1 =2
2 = 2, 2 =1/2
Granice Frécheta-Hoeffdinga
dolna
W(u,v)=max(u+v-1,0)
niezależne
górna
(u,v) = uv M(u,v)=min(u,v)
Metoda konstrukcji nowych
wielowymiarowych dystrybuant
„Meta-rozkłady” – Fang, Fang 2002
a) Wziąć znaną, 2-wymiarową dystrybuantę H(x,y) i wyznaczyć jej
dystrybuanty brzegowe F(x) i G(y)
b) Znaleźć odwrotności x = F-1 (u) i y = G-1 (v) i znaleźć wzór
określający kopułę
C(u,v) = H( F-1 (u), G-1 (v) )
c) W miejsce u i v wstawić odwrotności innych jednowymiarowych
dystrybuant F* i G* otrzymując inną, 2-wymiarową dystrybuantę
H* (x,y) = C(F* (x),G* (y))
Metoda konstrukcji nowych
wielowymiarowych dystrybuant

H S 1  1 (u ) , S  2  1 (v)
 -
2
1

C(u, v) 
uv

F-1 (u) = -(1/1 )ln(1-u)







G-1 (u) = -(1/2 )ln(1-u)
Bibliografia





Jones, M.C.,Pewsey, A., Sinh-arcsinh distributions, Biometrika 96 (2009),
4, pp.761-780.
Fang, H.-B., Fang K.-T., The Meta-elliptical Distributions with Given
Marginals, Journal of Multivariate Analysis 82 (2002), 1-16.
Landsman, Z., Elliptical families and copulas: tilting and premium;
capital allocation, Scandinavian Actuarial Journal 2 (2009), pp.85-103.
Nelsen,R.B., An Introduction to copulas, Springer-Verlag New York, Inc.,
1999.
Bobrowski,D., Grala,J., Computing of Reliability Using Copulas, Safety
and Reliability International Conference, vol.2, Gdynia, 2003.