c) ( )( )i ( )zz

Liczby Zespolone
Zad1. Wykonać działania:
a) (− 2 + 3i ) + (7 − 8i )
b) (4i − 3) − (1 + 10i )
c)
(
)(
f)
(1 + i )2
2 + i 3− 3i
2 − 3i
d)
5 + 4i
e) (3 + 4i )i
g)
)
i
(1 + i )2
2
1− i
i + 3 −1− i 3
i)
1+ i
4−i
j)
+i−3
2+i
−i
k)
(3 + i ) − 2
1+ i
1 + i 3 + 2i
l)
+
1 − i 2 − 3i
h)
(
)(
)
Zad2.Znaleźć liczby rzeczywiste x i y, spełniające związek:
a) x(2 + 3i ) + y (5 − 2i ) = −8 + 7i
b) (2 + yi )( x − 3i ) = 7 − i
1 + yi
= 3i − 1
c)
x − 2i
3. Wykazać, że:
a) z1 = z 2 ⇒ z1 = z 2
()
b) ∀ z = z
z∈C
c) z1 + z 2 = z1 + z 2
d) z1 ⋅ z 2 = z1 ⋅ z 2
e) re( z1 + z 2 ) = rez1 + rez 2
f) z = z ⋅ z
2
Zad 4. Znaleźć część rzeczywistą i urojoną liczb:
(1 − i ) 2 − i
2−i
a) z =
b) z =
1+ i
(1 + i ) 2 + i
c) z =
( 3 + i )(−1 − i 3 )
(1 − i )
Zad 5.Rozwiązać układ równań w zbiorze liczb zespolonych:
(2 − i ) x + (1 + 2i ) y = 1 − 2i

 (1 + i ) x + (1 − i ) y = 5 − i
Zad 6. Znaleźć na płaszczyźnie zespolonej zbiory punktów, spełniających warunki:
a) z = 2
b) 1 ≤ z ≤ 3
c) z − i ≤ 12
d) arg z =
π
e)
4
g) z − i ≤ 1
π
6
≤ arg z ≤
2π
3
f)
z −1
=1
z+i
h) z − (4 + 3i ) ⟨ 2
i) rez = imz
j) 0 ≤ arg z ≤
π
∧ z ≤3
4
k) 0 ⟨ rez ⟨ 3
l) re(iz + 2) ≥ 0
m) 1 ≤ z − i ≤ 2
Zad 7. Przedstawić w postaci trygonometrycznej i wykładniczej liczby zespolone:
3 1
1 − i 3 , –1 – i, − π , 3i, 1 − i; 1 + i 3 ; −
+ i; 1; i; − 3i; − 8; 3 + i
2 2
Zapisać liczby sprzężone do tych liczb (w postaci algebraicznej trygonometrycznej i
wykładniczej).
8. Wykorzystując wzory na mnożenie i dzielenie liczb zespolonych w postaci
2 + 2i
trygonometrycznej, obliczyć: (1 − i ) 3 + i ;
.
1− i
(
)
9. Wykorzystując wzory na mnożenie i dzielenie liczb zespolonych w postaci wykładniczej,
3i
wykonać działania: (4 + 4i )(− 3 + 3i );
.
1+ i
10. Stosując wzór Moivre’a wykonać potęgowanie:
2
6
f) (1 − i )
 2
2

a) 
+i
10
2 
π
π

 2
g)  cos − i sin 
8
4
4

b) (− 1 + i )
14
6
π
π

c) − 3 + i
h)  − cos + i sin 
7
7

5
d) 1 − i 3
(
(
e) (1 + i )
)
)
4
11. Znaleźć wszystkie pierwiastki zespolone: 4 16 ; 3 1 + i ; 4 − i ; 3
1
3 3 6
+i
; i ; 1; 1 − i
2
2
12. Następujące wyrażenia przedstawić za pomocą sin x i cos x :
a)
b)
c)
d)
cos 3 x
sin 6 x
cos 5 x
sin 4 x
13. Rozwiązać równania w zbiorze liczb zespolonych:
a) x 2 + 1 = 0
b) x 2 + 2 x + 3 = 0
c) z 2 + 2iz + 3 = 0
d) x 4 − 3 x 2 + 4 = 0
e) 2 z + (3 − i )z = 3 + 4i
f) z + i = z + i
g) z z + z − z = 3 + 2i
(
)