Liczby pierwsze palindromiczne

Prime Gaps
Palindromic Prime
Aneta Burant i Agnieszka Kolińska
Prime Gaps
A Prime Gap-różnica pomiędzy kolejnymi liczbami
pierwszymi.
n-tą różnicę oznaczmy przez „n” i jest ona równa
n=P(k+1) – P(k),
gdzie P(k+1), P(k) są kolejnymi liczbami pierwszymi
Weźmy pod uwagę kilka kolejnych liczb pierwszych:
P(1)=2, P(2)=3, P(3)=5, P(4)=7, P(5)=11, P(6)=13, P(7)=17,
P(8)=19, P(9)=23, P(10)=29, P(11)=31, P(12)=37, ...
Policzmy kolejne odpowiadające im różnice:
n1=3-2=1, n2=5-3=2, n3=7-5=2 ,...
Czyli nasze różnice są równe:
1,2,2,4,2,4,2,4,6,2,6,4,2, ...
p(n) - najmniejsza liczba pierwsza P(k)
odpowiadająca luce długości „n”, czyli p(n)=P(k)
Przykład:
n=2 => p(2)=3, ponieważ P(3)-P(2)=5-3=2, czyli luce
długości 2 odpowiada liczba pierwsza 3

n=6 => p(6)=23, ponieważ P(10)-P(9)=29-23=6, czyli
luce długości 6 odpowiada liczba pierwsza 23

Zauważmy, że liczby p(n)+1,p(n)+2,..., p(n)+n-1
są liczbami złożonymi, a liczba p(n)+n jest
liczbą pierwszą.
Przykład:
n=4 => p(4)=7 , p(4)+1=8, p(4)+2=9,
p(4)+3=10 -> są to liczby złożone. Natomiast
p(4)+4=11 jest liczbą pierwszą

n=6 => p(6)= 23, p(6)+1=24, p(6)+2=25,
p(6)+3=26, p(6)+4=27, p(6)+5=28 -> są to
liczby złożone. Natomiast p(6)+6=29 jest liczbą
pierwszą

Przez G(N) oznaczmy największą różnicę pomiędzy
kolejnymi liczbami pierwszymi P(k+1)-P(k), dla
P(k)<10^n, gdzie N- kolejne różnice pomiędzy liczbami
pierwszymi pomijając powtórzenia, czyli: 1,2,4,6,8,...
Przykład:
n=1, P(k)<10, to różnice kolejnych liczb
pierwszych <10 są równe {1,2,4}, czyli nasze
G(N)=4 dla 7 i 11

n=2, P(k)<100, to różnice kolejnych liczb
pierwszych <100 są równe {1,2,4,6,8}, czyli
nasze G(N)=8 dla 89 i 97

Dla n=1,2,3,... G(N)=4, 8, 20, 36, 72, 114, 154,
220, 282, 354, 464, 540, 674, 804, 906, 1132, ...



Można zauważyć,że dla n>1, gdzie n-kolejne różnice,
liczby n!+2, n!+3, ... ,n!+n są złożone.
Przykład:
n=2, mamy: 2!+2=4 -> liczba złożona
n=4, mamy 4!+1=25, 4!+2=26, 4!+3=27,
4!+4=28 -> liczby złożone
Ciekawostki :)


dla n =803 => p(n)=90 874 329 411 493
15.01.2004 J.K.Andersen i H.Rosenthal znaleźli
róźnicę n=1 001 548 dla liczb pierwszych z
których każda liczyła 43 429 cyfr, a pomiędzy
styczniem- majem 2004 znaleźli lukę
n=2 254 930 pomiędzymi liczbami pierwszymi
liczącymi 86 853 cyfr każda
Palindromic Prime
Liczby palindromiczne pierwsze to liczby
pierwsze, które nie zmieniają się gdy ich
cyfry zapiszemy w odwrotnej kolejności
Przykład:
2, 3, 5, 7, 11, 101, 131, 151, 181, 191, 313,
353, ...
Zauważono, że liczb palindromicznych pierwszych
mających cyfr:

1 jest 4 : {2,3,5,7}

2 jest 1 : {11}

3 jest 15

4 jest 0

5 jest 93 ...
Ponadto wszystkich liczb palindromicznych
pierwszych mniejszych od:

10 jest 4

100 jest 5

1 000 jest 20

10 000 jest 20

100 000 jest 113 ...
Przykłady liczb palindromicznych o
podstawie B równej:
B=2: 11, 101, 111, 10001, 11111, 1001001, 1101011, ...

B=3: 2, 111, 212, 12121, 20102, 22122, ...

B=4: 2, 3, 11, 101, 131, 323, 10001, 11311, 12121, ...

B=5: 2, 3, 111, 131, 232, 313, 414, 10301, 12121, 13331, ...

B=6: 2, 3, 5, 11, 101, 111, 141, 151, 515, ...

B=7: 2, 3, 5, 131, 212, 313, 515, 535, 616, ...

B=8: 2, 3, 5, 7, 111, 131, 141, 161, 323, ...

B=9: 2, 3, 5, 7, 131, 151, 212, 232, 272, 414, ...

B=10: 2, 3, 5, 7, 11, 101, 131, 151, 181, ...

Obserwując liczby pierwsze palindromiczne możemy zauważyć, że wśród nich
znajdują się pary różniące się środkową cyfrą o jeden. Znanych jest 12 takich
par: 2 i 3, 181 i 191, 373 i 383, 787 i 797, 919 i 929, 10501 i 10601, 11311
i 11411, 12721 i 12821, 13831 i 13931, 15451 i 15551, 16561 i 16661, 30103
i 30203. Oczywiście nie wiadomo, czy takich par jest nieskończenie wiele.
Sprawdźmy teraz, czy istnieją pary liczb pierwszych palindromicznych, dla
których różnica środkowych cyfr jest równa 2, 3, ..., 9. Okazuje się, że są: 131
i 151 (różnica 2), 101 i 131 (różnica 3), 151 i 191 (różnica 4), 101 i 151
(różnica5), 131 i 191 (różnica 6), 313 i 383 (różnica 7), 101 i 181 (różnica 8),
101 i 191(różnica 9).
Ciekawostki :)
Banks w 2004 udowodnił,że prawie wszystkie
liczby palindromiczne są złożone

W 1999 roku Dubner znalazł największą liczbę
palindromiczną pierwszą równą:
10^39026 + 4538354 * 10^19510 + 1

W 2005 roku P. Jobling udowodnił, że
najwiekszą liczbą palindromiczną pierwszą jest:
10^150006 + 7426247 * 10^75000 +1

Bibliografia:
http://mathworld.wolfram.com/PalindromicPrime.html
http://mathworld.wolfram.com/PrimeGaps.html
http://pl.wikipedia.org/wiki/Liczby_pierwsze
http://www.sciface.com/mathpad/2005_1/mathpad_2005/krawczyk_2.pdf