Przykładowe zadania egzaminacyjne

Przykładowe zadania egzaminacyjne
Zadanie 1.
Dla 38 uczestników wycieczki zarezerwowano nocleg w 15 pokojach. Dla dziewcząt zarezerwowano
tylko pokoje dwuosobowe, a dla chłopców tylko pokoje trzyosobowe. Uczestnicy wycieczki zajęli wszystkie
miejsca w zarezerwowanych pokojach. Ile dziewcząt i ilu chłopców brało udział w tej wycieczce? Zapisz
obliczenia.
Przykładowe sposoby rozwiązań
I sposób – ułożenie układu równań
x – liczba pokoi dwuosobowych
y – liczba pokoi trzyosobowych
2x – liczba dziewcząt
3y – liczba chłopców
Otrzymujemy układ równań:
𝑥 + 𝑦 = 15
{
2𝑥 + 3𝑦 = 38
Rozwiązując ten układ równań metodą podstawiania lub przeciwnych współczynników otrzymamy:
x = 7, y = 8
zatem: 2x = 14, 3y = 24
Odpowiedź. W wycieczce uczestniczyło 14 dziewcząt i 24 chłopców.
lub
x – liczba dziewcząt
y – liczba chłopców
liczba pokoi dwuosobowych 2x
liczba pokoi trzyosobowych 3y
Otrzymujemy układ równań:
𝑥 + 𝑦 = 38
{𝑥 𝑦
+ = 15
2 3
Po rozwiązaniu układu równań otrzymamy: x = 14, y = 24
Odpowiedź. W wycieczce uczestniczyło 14 dziewcząt i 24 chłopców.
II sposób – ułożenie równania z jedną niewiadomą
x – liczba pokoi dwuosobowych
15 – x – liczba pokoi dwuosobowych
2x – liczba dziewcząt
3(15- x) – liczba chłopców
2𝑥 + 3(15 − 𝑥) = 38
2𝑥 + 45 − 3𝑥 = 38
−𝑥 = −7
𝑥=7
2𝑥 = 14
3(15 − 𝑥) = 24
Odpowiedź. W wycieczce uczestniczyło 14 dziewcząt i 24 chłopców.
Zadanie 2.
Uzasadnij, że dwusieczne kątów BAD i ABC równoległoboku ABCD są prostopadłe.
Przykładowy sposób rozwiązania
Korzystając z definicji dwusiecznej, mamy:
<| BAP| = <| DAP| = α oraz< | CBP| = <| ABP| = β.
Korzystając z własności miar kątów w równoległoboku, mamy: 2α + 2β = 180°, stąd α + β = 90°.
Korzystając z twierdzenia o sumie kątów trójkąta, mamy:
<| APB| = 180° – (α + β) = 180° – 90° = 90°.
Odpowiedź. Dwusieczne AP i BP są prostopadłe.
II sposób
Korzystając z własności miar kątów w równoległoboku,
mamy: 2α + 2β = 180°, stąd α + β = 90°.
β = 90° – α
Z twierdzenia o sumie kątów trójkąta, mamy:
x = 180° – (α + 90° – α)
x = 180° – 90°
x = 90°
Odpowiedź. Dwusieczne są prostopadłe.
Zadanie 3.
Na rysunkach przedstawiono tę samą bryłę widzianą z dwóch stron. Każda ze ścian tej bryły jest albo
kwadratem, albo trójkątem równobocznym. Kwadratem jest też czworokąt ABCD (patrz rysunki). Każda
krawędź ma długość 2. Jaką objętość ma ta bryła? Zapisz obliczenia.
Przykładowy sposób rozwiązania
Bryłę można podzielić na dwa takie same graniastosłupy prawidłowe trójkątne. Podstawa każdego z nich jest
trójkątem równobocznym o boku długości 2, więc pole podstawy jest równe
22 .√3
4
Wysokość każdego z graniastosłupów równa jest 2, więc jego objętość równa jest
Objętość całej bryły jest równa 2 · 2√3
Odpowiedź. Cała bryła ma więc objętość 4√3
22 .√3
4
·2=2√3
Zadanie 4.
Na planie pokoju wykonanym w skali 1 : 50 prostokątna podłoga ma wymiary 8 cm i 12 cm.
Dokończ poniższe zdanie, wybierając odpowiedź spośród podanych.
W rzeczywistości pole powierzchni podłogi tego pokoju jest równe
A. 96 m2
B. 48 m2
C. 24 m2
D. 12 m2
Przykładowy sposób rozwiązania:
8cm x50=400cm=4m
12 cm x 50 = 600cm=6m
4m x6m =24m2
Odpowiedź: pole powierzchni tego pokoju wynosi 24 m2.
Zadanie 5.
Czy kulę o objętości 500 cm3 można przełożyć przez otwór w kształcie kwadratu o boku 10 cm? Wybierz
odpowiedź T (tak) albo N (nie) i jej uzasadnienie spośród oznaczonych literami A–D.
średnica kuli jest mniejsza od przekątnej kwadratu.
średnica kuli jest mniejsza od boku kwadratu.
średnica kuli jest większa od przekątnej kwadratu.
średnica kuli jest większa od boku kwadratu.
A.
B.
C.
D.
T
ponieważ
N
Przykładowy sposób rozwiązania:
a
r
Gdyby kula miała przejść przez otwór, to jej średnica musi być mniejsza od boku kwadratu.
Załóżmy, że średnica jest równa bokowi kwadratu, wobec tego promień kuli wynosi połowę średnicy czyli
5cm.
Obliczamy objętość kuli
4
4
1
V= 3 𝜋𝑟 3 = 3·3,14·52 = 523 3 cm3.
Ponieważ objętość kuli w zadaniu wynosi 500cm2 czyli jest mniejsza od objętości kuli o promieniu 5 cm,
więc promień tej kuli jest mniejszy od 5. Wobec tego można tę kulę przełożyć przez otwór w kształcie
kwadratu o boku 10cm.
Zadanie 6.
Samochód przebył drogę 36 km ze średnią prędkością
ze średnią prędkością
A. o 30 minut
Chłopiec na rowerze przejechał tę samą drogę
. O ile minut krócej jechał samochód niż chłopiec na rowerze?
B. o 90 minut
C. o 120 minut
D. o 150 minut
Przykładowy sposób rozwiązania:
S-droga
Vr - prędkość rowerzysty
Vs - prędkość samochodu
tr - czas rowerzysty
ts - czas samochodu
S=36 km
Vs =72km/h
Vr = 18km/h
ts = ?
tr = ?
𝑆
V=𝑡 /·t
Vt=S /:V
𝑆
t=𝑉
ts = 36/72=1/2h
tr = 36/18=2h
2h-1/2h = 1,5h=90 minut
Odpowiedź: samochód jechał o 90 minut krócej.
Zadanie 7.
Do zestawu liczb: 5, 5, 8, 9, 13 dopisano jeszcze jedną liczbę, co spowodowało, że średnia arytmetyczna
zestawu zwiększyła się o 1. Jak zmieniła się mediana?
A. Zmalała o 1.
B. Nie zmieniła się.
C. Wzrosła o 0,5.
D. Wzrosła o 1.
Przykładowy sposób rozwiązania:
Mediana zestawu liczb 5, 5, 8, 9, 13 wynosi 8
Średnia =
5+5+8+9+13
5
=
40
5
=8
5 + 5 + 8 + 9 + 13 + 𝑥
=8+1
6
40 + 𝑥
=9
6
40+x=54
x=14
Nowy zestaw liczb to 5, 5, 8, 9, 13, 14. Medianę tego zestawu liczymy
8+9
2
= 8,5
Odpowiedź: mediana wzrosła o 0,5.
Zadanie 8.
Sześcian o powierzchni 600 cm2 pocięto na małe sześciany, każdy o powierzchni 150 cm2. Ile małych
sześcianów otrzymano?
A. 16
B. 8
C. 4
D. 2
Przykładowy sposób rozwiązania:
Pc = 6a2
V=a3
600=6a2 /:6
100=a2 /
a=10
150=6a2 /:6
25=a2 /
a=5
V1=103=1000
V2=53=125
1000:125=8
Odpowiedź: otrzymano 8 sześcianów.
Zadanie 9.
Kwadrat o boku 6 cm rozcięto wzdłuż przekątnych. Z otrzymanych trójkątów ułożono figurę złożoną z
dwóch czworokątów tak, jak na rysunku. Na rysunku wyjaśniono również, co rozumiemy przez długość i
szerokość otrzymanej figury. Pole tej figury to suma pól tworzących tę figurę czworokątów.
Oceń prawdziwość zdań (zamaluj kwadracik przy słowie PRAWDA lub FAŁSZ).
1. Długość figury jest równa 12 cm.
2. Szerokość figury jest równa
3. Pole figury jest równe 36 cm2.
cm.
PRAWDA /
FAŁSZ
PRAWDA /
FAŁSZ
PRAWDA /
FAŁSZ
Przykładowy sposób rozwiązania:
1. Długość figury to 2 boki kwadratu czyli 12 cm - prawda
2. Szerokość figury to przekątna kwadratu o długości 6 cm - fałsz
3. Pole nowej figury jest równe polu kwadratu o boku 6 cm czyli 62=36 - prawda
Zadanie10.
Ile jest liczb dwucyfrowych spełniających jednocześnie poniższe dwa warunki?
1. Jedna z cyfr jest o 4 większa od drugiej,
2. Obie cyfry są parzyste.
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
Przykładowy sposób rozwiązania:
Cyfry z których możemy utworzyć szukane liczby to 0, 2, 4, 6, 8 -na podstawie drugiego warunku.
Aby spełniony był pierwszy warunek możemy utworzyć pary cyfr: 0-4, 2-6, 4-8.
Z tych par powstają liczby: 40, 26, 62, 48, 84. Jest ich pięć.
Odpowiedź: Jest 5 takich liczb