p ⇔ q - Informacje dla uzytkowników serwera antenor.pol.lublin.pl

Zadania na ćwiczenia do wykładu z logiki
Z. 1. Sprawdzić, które z poniższych formuł są tautologiami:
(1) (p ⇔ q) ⇒ (p ∧ q),
(2) (p ⇔ q) ⇒ [(∼ p ∨ q) ∧ (p∨ ∼ q)],
(3) (p ⇒ q) ⇒ [p ⇒ (q ∨ r)].
Z. 2. Napisać zaprzeczenia zdań lub form zdaniowych:
(1) Zosia uczy się angielskiego i niemieckiego.
(2) 4 < 0 ∨ 4 > 2
(3) x = 5 ∨ x = 7
(4) sin x ­ 0 ∧ x2 + 1 ∈ (0, +∞)
(5) W = R = P = 0
(6) Jeżeli spadnie gwiazdka, to spełni się moje marzenie.
Z. 3. Sprawdzić, że formuła (p ⇔ q) ⇔ (∼ p ⇔∼ q) jest tautologią. Zastosować tę formułę do poniższych
form zdaniowych.
(1) x2 − 3x + 2 = 0 ⇔ (x = 1 ∨ x = 2).
(2) Liczba dzieli się przez 6 wtedy i tylko wtedy, gdy dzieli się przez 2 i dzieli się przez 3.
(3) x−1
x−2 > 0 ⇔ [(x > 1 ∧ x > 2) ∨ (x < 1 ∧ x < 2)]
Z. 4. Napisać implikację odwrotną. Ocenić prawdziwość otrzymanych zdań.
(1) Jeżeli iloczyn dwóch liczb jest równy 0, to przynajmniej jedna z tych liczb jest równa 0.
(2) Jeżeli czworokąt jest równoległobokiem, to jest trapezem.
(3) Jeżeli bok sześcianu ma długość 3j, to jego objętość wynosi 27j 3 .
(4) Jeżeli podstawa trójkąta ma długość 3j, a jego wysokość 4j, to jego pole wynosi 6j 2 .
(5) Jeżeli x = 2, to x2 = 4.
(6) Jeżeli suma cyfr liczby dzieli się przez 3, to dana liczba dzieli się przez 3.
Z. 5. Ocenić wartość logiczną zdań:
(1)
_
(x > 2 ∨ x < 10),
(3)
(x 6= 2 ∧ |x| = 2),
(4)
x∈R
(2)
^
^
(x 6= 2 ⇒ x2 6= 4),
x∈R
_
(x > 3 ∨ x2 6= 9).
x∈R
x∈R
Napisać zaprzeczenia powyższych zdań.
Z. 6. Ocenić wartość logiczną zdań:
(1)
_ ^
(x + y > 0),
(3)
x∈R y∈R
(2)
^ _
_ ^
(n ¬ m),
m∈N n∈N
(x + y > 0),
(4)
^ _
(n ¬ m),
n∈N m∈N
x∈R y∈R
(5)
^ _
(n ­ m).
n∈N m∈N
Napisać zaprzeczenia powyższych zdań.
Z. 7. Następujące zdania zapisać przy użyciu kwantyfikatorów:
(1) Kwadrat pewnej liczby rzeczywistej jest równy 2.
(2) Istnieje liczba naturalna będąca wspólnym pierwiastkiem równań x2 − 5x + 6 = 0 i x2 − 6x + 9 = 0.
(3) Istnieją liczby całkowite, których iloczyn jest równy 1.
(4) Sinus dowolnej liczby rzeczywistej nie przekracza 1.
(5) Istnieją liczby rzeczywiste, dla których kwadrat ich sumy jest równy sumie ich kwadratów.
2
Zadania do domu
Z. 8. Ustalić, które ze zdań są zdaniami w sensie logicznym. Podać wartość logiczną tych zdań.
(1) Symbolem Lublina jest koziołek.
(2) Obecnie w Lublinie mieszka dwa miliony osób.
(3) Dwa plus dwa jest równe cztery.
(4) Czy dwa plus dwa wynosi cztery?
(5) Czy jest to zdanie w sensie logicznym?
(6) Ucz się pilnie!
(7) Jutro będzie padał deszcz.
(8) Krowa jest zwierzęciem parzystokopytnym.
(9) Okrąg jest brzegiem koła.
(10) π jest liczbą wymierną.
Z. 9. Sprawdzić, czy następujące formuły są prawami rachunku zdań:
(1) (p ∨ q) ∧ (∼ p =⇒ q)
(2) (p =⇒ q) =⇒ [(r∧ ∼ q) =⇒ (r∧ ∼ p)]
(3) (p =⇒ q) =⇒ (∼ q =⇒ r)
(4) {[(p ∧ q) =⇒ r] ∧ [p ∨ (q =⇒∼ r)]} =⇒ (p ∧ q ∧ r)
(5) [(p ∨ q) ∧ (p =⇒ q)] =⇒ (q =⇒ p)
(6) [(p =⇒ q) ∧ (q =⇒ p)] =⇒ (p ∨ q)
(7) [(p ∧ q) =⇒ r] =⇒ [(p∧ ∼ r) =⇒ (∼ q)]
(8) [(p =⇒ q) ∨ (r =⇒ q)] =⇒ [(p ∧ r) =⇒ q]
(9) [(p =⇒ q) ∧ p] =⇒ q
(10) [(p ⇐⇒ q) ∧ (r =⇒ q)] ⇐⇒ [(p ∨ r) =⇒ q]
w=1
w=0
w=1
w=1
w=1
w=0
N
T
N
N
N
N
T
T
T
N
Z. 10. Napisać zaprzeczenia następujących zdań lub form zdaniowych:
(1) x > 0 ∧ x < −2.
(2) x ¬ 0 ∨ x ­ 2.
(3) Dziecko założyło lewą i prawą rękawiczkę.
(4) Tu możemy skręcić w lewo lub w prawo.
(5) 2 < 5 ⇒ 3 < 5.
(6) Jeżeli pada deszcz, to idę pod parasolem.
(7) x2 − 3x + 2 = 0 ⇒ (x = 1 ∨ x = 2).
(8) W = P = R = 0.
(9) Jeżeli liczba jest podzielna przez 9, to jest podzielna przez 3.
(10) Okrąg jest bryłą wtedy i tylko wtedy, gdy −1 jest kwadratem liczby rzeczywistej.
Z. 11. Sprawdzić, że formuła (p ⇔ q) ⇔ (∼ p ⇔∼ q) jest tautologią. Zastosować tę formułę do poniższych
form zdaniowych.
(1) x2 − 3x + 2 = 0 ⇔ (x = 1 ∨ x = 2).
(2) Liczba dzieli się przez 6 wtedy i tylko wtedy, gdy dzieli się przez 2 i dzieli się przez 3.
(3) x−1
x−2 > 0 ⇔ [(x > 1 ∧ x > 2) ∨ (x < 1 ∧ x < 2)]
Z. 12. Napisać implikację odwrotną, przeciwną i przeciwstawną do danej:
(1) Jeżeli liczba dzieli się przez 4, to jest liczbą parzystą.
(2) Jeżeli koło ma promień o długości 2, to jego pole wynosi 4π.
(3) Jeżeli kąty wpisane są oparte na tym samym łuku, to mają równe miary.
(4) Jeżeli czworokąt jest kwadratem, to jest rombem.
(5) Jeżeli liczba pierwsza jest większa od 3, to 2 nie jest jej dzielnikiem.