Lista 7 -Twierdzenie Eulera i pierwiastki pierwotne 1. Oblicz ϕ(n) dla

Lista 7 -Twierdzenie Eulera i pierwiastki pierwotne
1. Oblicz ϕ(n) dla: a) n = 1001; b) 111111; c) 555555; d) 10011001 .
2. Wyraź ϕ(666) za pomocą samych szóstek.
3. Znajdź kres górny i kres dolny zbioru liczb postaci ϕ(n)/n.
4. Jaki zachodzi związek pomiędzy ϕ(2n) a ϕ(n)?
5. Wykaż, że równanie ϕ(n) = n/3 ma nieskończenie wiele rozwiązań.
6. Wykaż, że jedyną nieparzystą wartością funkcji Eulera jest liczba 1.
7. Udowodnij twierdzenie Eulera: a) małpując dowód MTF z wykładu; b) korzystając z twierdzenia Lagrange’a o rzędzie podgrupy.
8. Czy istnieje pierwiastek pierwotny dla: a) n = 12; b) 18; c) 27?
9. Znajdź jakikolwiek pierwiastek pierwotny Z29 . Korzystając z niego znajdź
wszystkie pozostałe.
10. Ile jest pierwiastków pierwotnych w Z101 ?
11. Wykaż, że jeśli r jest pierwiastkiem pierwotnym dla liczby pierwszej p, to
r
p−1
2
≡ −1 mod p.
12. Uzupełnij dowód twierdzenia Wilsona: „Niech r będzie pierwiastkiem pierwotnym modulo p. Wówczas
(p − 1)! ≡ r1+2+...+(p−1) mod p...′′
13. Korzystając z twierdzenie Eulera wykaż, jeśli n jest liczbą nieparzystą niepodzielną przez 5, to pewna jej krotność ma zapis złożony z samych jedynek.
Uwaga: Podobny wynik można uzyskać za pomocą zasady szufladkowej.
14. Uzasadnij, że dla liczb pierwszych p długość okresu w rozwinięciu dziesiętnym
liczby 1/p jest dzielnikiem liczby p − 1.
15. Niech p będzie nieparzystą liczbą pierwszą. Wykaż, że suma
1n + 2n + ... + (p − 1)n
jest równa 0 bądź −1. Wsk. Jeżeli p − 1 nie dzieli n, a r jest pierwiastkiem
pierwotnym dla p, to żądana suma modulo p jest równa
1 + rn + r2n + . . . + r(p−2)n .
16. * Oblicz wyznacznik
nwd(1, 1)
nwd(2, 1)
...
nwd(n, 1)
nwd(1, 2)
nwd(2, 2)
...
nwd(n, 2)
. . . nwd(1, n) . . . nwd(2, n) .
...
...
. . . nwd(n, n) 17. * Wykaż, że dla dowolnej nieparzystej liczby pierwszej istnieją pierwiastki pierwotne modulo pk oraz 2pk .