Wielomiany - Szkolnictwo.pl

Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej
Portalu www.szkolnictwo.pl
Wszelkie treści i zasoby edukacyjne publikowane na łamach Portalu www.szkolnictwo.pl mogą być wykorzystywane przez jego Użytkowników wyłącznie
w zakresie własnego użytku osobistego oraz do użytku w szkołach podczas zajęć dydaktycznych. Kopiowanie, wprowadzanie zmian, przesyłanie, publiczne odtwarzanie
i wszelkie wykorzystywanie tych treści do celów komercyjnych jest niedozwolone. Plik można dowolnie modernizować na potrzeby własne oraz do wykorzystania
w szkołach podczas zajęć dydaktycznych.
WIELOMIANY
I. Jednomian to funkcja postaci: y=axn określona na
zbiorze liczb rzeczywistych. Liczbę a (a≠0) nazywamy
współczynnikiem jednomianu, n nazywamy stopniem
jednomianu.
PRZYKŁADY JEDNOMIANÓW:
f(x)=6x2
g(x)=-2x3
f(x)=4x8
p(x)=7x2
h(x)=-x
g(x)=-2
Sumę dwóch jednomianów różnych stopni nazywamy
dwumianem.
PRZYKŁADY DWUMIANÓW:
w(x)=6x2+5x3
p(x)=7x6-x2
h(x)=-x-20
g(x)=-2+x4
f(x)=4x8-x2
w(x)=x+8x9
Sumę trzech jednomianów różnych stopni nazywamy
trójmianem.
PRZYKŁADY TRÓJMIANÓW:
w(x)=5x2+5x3+3x
p(x)=4x7+x6-x2
h(x)=x4-x-20
g(x)=-2+x4-x
f(x)=4x8-x2+5x
w(x)=8x9-x7+x2
II. Wielomian to funkcja postaci: w(x)=anxn+an-1xn-1+…a1x+a0
określona na zbiorze liczb rzeczywistych. Liczby an, an-1,….a1,a0
nazywamy współczynnikami wielomianu, a0 jest wyrazem wolnym.
PRZYKŁADY WIELOMIANÓW:
f(x)=6x7-2x4+x2-8
g(x)=-2x3-x+12
f(x)=x8+4x6-x2+3
p(x)=7x3+x2-6x-2
w(x)≡0 – wielomian zerowy
Ćw1: Napisz wzór wielomianu w o podanych współczynnikach:
a)
a0=2 a1=-4 a3=10
w(x)=10x3-4x+2
b)
a1=-2 a4=10 a5=2
w(x)=2x5+10x4-2x
c)
a0=-4 a1=-8 a4=6 a7=2
w(x)=2x7+6x4-8x-4
Ćw2: Mając dane wielomiany u(x) oraz w(x) wykonaj działania:
u(x)=-x3+x2-6x+8
w(x)=4x3+6x-7
a)
u(x)+w(x)=-x3+x2-6x+8+4x3+6x-7=3x3+x2+1
b)
2u(x)+4w(x)=2(-x3+x2-6x+8)+4(4x3+6x-7)=
=-2x3+2x2-12x+16+16x3+24x-28=
=14x3+2x2+12x-12
c)
w(x)-u(x)=4x3+6x-7-(-x3+x2-6x+8)=
=4x3+6x-7+x3-x2+6x-8=5x3-x2+12x-15
d)
x·w(x)+(x-2)+u(x)=x·(4x3+6x-7)+x-2-x3+x2-6x+8=
=4x4+6x2-7x+x-2-x3+x2-6x+8=4x4-x3+7x2-12x+6
e)
3u(x)+2w(x)=3(-x3+x2-6x+8)+2(4x3+6x-7)=
=-3x3+3x2-18x+24+8x3+12x-14=
=5x3+3x2-6x+10
f)
2u(x)-w(x)=2(-x3+x2-6x+8)-(4x3+6x-7)=
=-2x3+2x2-12x+16-4x3-6x+7=
=-6x3+2x2-18x+23
Ćw3: Oblicz wartość wielomianu w(x)=x3-2x2+6x+1 dla podanego x.
a)
dla x=-2
w(-2)=(-2)3-2·(-2)2+6·(-2)+1
w(-2)=-8-8-12+1=-27
b)
dla x=-1
w(-1)=(-1)3-2· (-1)2+6·(-1)+1
w(-1)=-1-2-6+1=-8
c)
dla x=0
w(0)=03-2·02+6·0+1
w(0)=1
d)
dla x=4
w(4)=43-2·42+6·4+1
w(4)=64-32+24+1=57
Ćw4: Wyznacz współczynnik a jeżeli:
a)
w(x)=x3-ax2+6x-2
w(2)=2
w(2)=23-a·22+6·2-2
w(2)=8-4a+12-2
w(2)=18-4a
2=18-4a
4a=16
a=4
w(x)=x3-4x2+6x-2
b)
w(x)=ax3-6x2+x-10
w(1)=-7
w(1)=a·13-6·12+1-10
w(1)=a-6+1-10
w(1)=a-15
-7=a-15
-a=-8
a=8
w(x)=8x3-6x2+x-10
c)
w(x)=x4+6x2-2x+a
w(-1)=10
w(-1)=(-1)4+6·(-1)2-2·(-1)+a
w(-1)=1+6+2+a
w(-1)=9+a
10=9+a
a=1
w(x)=x4+6x2-2x+1
d)
w(x)=2x3-(a-8)x2+3x-1
w(-3)=-10
w(-3)=2·(-3)3-(a-8)·(-3)2+3·(-3)-1
w(-3)=2·(-27)-(a-8)·9-9-1
w(-3)=-54-9a+72-10
w(-3)=8-9a
-10=8-9a
9a=8+10
9a=18
a=2
w(x)=2x3-(2-8)x2+3x-1
w(x)=2x3+6x2+3x-1
Ćw5: Która z podanych liczb w zbiorze X={-1,1,2} jest miejscem
zerowym (pierwiastkiem) wielomianu w(x)=2x3+6x-8?
Liczba jest pierwiastkiem wielomianu jeżeli wartość wielomianu dla tej
liczby wynosi zero.
Obliczamy wartość wielomianu dla podanych liczb w zbiorze X.
w(-1)=2·(-1)3+6·(-1)-8
w(-1)=-2-6-8=-16
w(1)=2·13+6·1-8
w(1)=2+6-8=0
w(2)=2·23+6·2-8
w(2)=16+12-8=20
Z podanych liczb w zbiorze X pierwiastkiem wielomianu jest liczba 1.
Ćw6: Wyznacz współczynniki a i b wielomianu w(x) jeżeli:
a)
w(x)=2x4-bx3+ax2-5
w(1)=2·14-b·13+a·12-5
w(1)=2-b+a-5
w(1)=-3-b+a
3=-3-b+a
a-b=6
a=b+6
w(1)=3
w(-2)=0
w(-2)=2·(-2)4-b·(-2)3+a·(-2)2-5
w(-2)=32+8b+4a-5
w(-2)=27+8b+4a
0=27+8b+4a
4a+8b=-27
4(b+6)+8b=-27
4b+24+8b=-27
12b=-51
b=-4,25
a=b+6=-4,25+6=1,75
w(x)=2x4+4,25x3+1,75x2-5
b)
w(x)=ax5+4x3-bx+10
w(1)=a·15+4·13-b·1+10
w(1)=a+4-b+10
w(1)=14+a-b
14=14+a-b
a-b=0
a=b
w(1)=14 w(-2)=2
w(-2)=a·(-2)5+4·(-2)3-b·(-2)+10
w(-2)=-32a-32+2b+10
w(-2)=-22-32a+2b
2=-22-32a+2b
32a-2b=-24
32b-2b=-24
30b=-24
b=-0,8
a=-0,8
w(x)=-0,8x5+4x3+0,8x+10
Ćw7: Wyznacz wyraz wolny wielomianu w(x)=2x3-4x2+6x+a0 jeżeli:
a)
w(1)=4
w(1)=2·13-4·12+6·1+a0
w(1)=2-4+6+a0
w(1)=4+a0
4=4+a0
a0=0
w(x)=2x3-4x2+6x
b)
w(-2)=0
w(-2)=2·(-2)3-4·(-2)2+6·(-2)+a0
w(-2)=-16-16-12+a0
w(-2)=-44 +a0
0=-44+a0
a0=44
w(x)= 2x3-4x2+6x+44
c)
w(0)=4
w(0)=2·03-4·02+6·0+a0
w(0)=0-0+0+a0
w(0)=a0
4=a0
a0=4
w(x)=2x3-4x2+6x+4
d)
w(-4)=-3
w(-4)=2·(-4)3-4·(-4)2+6·(-4)+a0
w(-4)=-128-64-24+a0
w(-4)=-216 +a0
-3=-216+a0
a0=213
w(x)= 2x3-4x2+6x+213
Ćw8: Dane są wielomiany: w(x)=x3+6x2-4 u(x)=4x-5.
Wyznacz wielomian:
a) v(x)=w(x)+u(x)
v(x)=x3+6x2-4+4x-5
v(x)=x3+6x2+4x-9
b) v(x)=w(x)-u(x)
v(x)=x3+6x2-4-(4x-5)
v(x)=x3+6x2-4-4x+5
v(x)=x3+6x2-4x+1
c) v(x)=u(x)-w(x)
v(x)=4x-5-(x3+6x2-4)
v(x)=4x-5-x3-6x2+4
v(x)=-x3-6x2+4x-1
Ćw9: Oblicz obwód figury przedstawionej na rysunku:
a)
x+3
4
1
2x
x-1
Obw=(x+3)+4+2x+(x-1)+(3x+3-1)+(x-1)+1+4
Obw=x+3+4+2x+x-1+3x+2+x-1+5
Obw=8x+12
b)
4x
2x+1
3
9
Obw=4x+3+(2x+1)+3+(2x+1)+3+4x+9
Obw=4x+3+2x+1+3+2x+1+3+4x+9
Obw=12x+20