Liczby Fibonacciego, liczby Mersenne`a i uogólnione symbole

Liczby Fibonacciego, liczby Mersenne’a
i uogólnione symbole Newtona
Andrzej Nowicki
Uniwersytet Mikołaja Kopernika, Wydział Matematyki i Informatyki,
ul. Chopina 12–18, 87–100 Toruń
e-mail: [email protected]
Zakopane, sierpień 1997 r.
Przez N oznaczać będziemy zbiór {1, 2, . . . } liczb naturalnych. Największy wspólny dzielnik liczb naturalnych n i m oznaczamy przez (n, m).
Załóżmy, że dany jest ciąg a = (an ) o wyrazach naturalnych. Jeśli n jest nieujemną liczbą
całkowitą, to przez a∗n oznaczać będziemy liczbę naturalną zdefiniowaną następująco:
(
a∗n
=
a1 a2 · · · an , gdy n ∈ N,
gdy n = 0.
1,
Jeśli n i k są nieujemnymi liczbami całkowitymi, to przez
wymierną zdefiniowaną jako:
" #
n
k
Zauważmy, że
n
n a
=
n
0 a
=
a
= 1 oraz
n


a∗n
a∗k ·a∗n−k ,
gdy n > k,

0,
gdy n < k.
n
k a
=
n n−k a
k a
oznaczać będziemy liczbę
dla n > k.
Mówić będziemy, że ciąg a jest β-ciągiem jeśli każda liczba postaci
n
k a
jest całkowita.
n
Liczby postaci k a są nam znane w przypadku, gdy a jest ciągiem kolejnych liczb na
turalnych (to znaczy, gdy an = n dla n ∈ N). W tym przypadku a∗n = n! oraz liczba nk a
pokrywa się z liczbą
! 
n!

n
k!(n−k)! , gdy n > k,
=
 0,
k
gdy n < k.
Wiadomo, że jeśli n > k, to nk jest liczbą naturalną (będącą liczbą wszystkich k elementowych podzbiorów zbioru n elementowego). Znamy zatem co najmniej jeden β-ciąg.
Celem tego artykułu jest wykazanie, że pewne znane ciągi liczbowe są również β-ciągami.
Przykład 1. Każdy ciąg stały jest β-ciągiem. Jeśli c ∈ N i an = c dla n ∈ N, to każda
liczba postaci nk a jest równa 1.
Przykład 2. Każdy ciąg geometryczny o naturalnym ilorazie
jest β-ciągiem. Jeśli c ∈ N
n
n
i an = c dla n ∈ N, to dla wszystkich n > k zachodzi równość k a = c(n−k)k .
Przykład 3. Iloczyn dwóch β-ciągów jest β-ciągiem.
Jeśli a = (an ) oraz b = (bn ) są
n
n n
β-ciągami, to ciąg c = (an bn ) jest β-ciągiem oraz k c = k a · k b .
1
Ważną klasą przykładów β-ciągów stanowią ciągi, które nazywać będziemy α-ciągami.
Mówić będziemy, że dany ciąg a = (an ) (o wyrazach naturalnych) jest α-ciągiem jeśli dla
dowolnych liczb naturalnych n i m zachodzi równość
(an , am ) = a(n,m) .
Ciąg stały oraz ciąg kolejnych liczb naturalnych są α-ciągami. Łatwo sprawdzić, że jeśli s jest
ustaloną liczbą naturalną, to ciągi (ns) i (ns ) są również α-ciągami.
Lemat. Jeśli a = (an ) jest α-ciągiem, to dla dowolnych nieujemych liczb całkowitych
n, k istnieją liczby całkowite X(n, k) oraz Y (n, k) takie, że
n+1
k+1 a
n k+1 a
= X(n, k)
n
+ Y (n, k)
k a.
Dowód. Niech n i k będą nieujemnymi liczbami całkowitymi. Istnienie liczb X(n, k),
Y (n, k) jest oczywiste w przypadku, gdy n 6 k. Załóżmy dalej, że n > k i oznaczmy przez
d największy wspólny podzielnik liczb an−k oraz ak+1 . Istnieją wówczas liczby całkowite u, v
takie, że
d = uan−k + vak+1 .
Wykorzystaliśmy znaną własność największego wspólnego podzielnika (patrz na przykład
[6]). Z równości
d = (an−k , ak+1 ) = a(n−k,k+1) = a(n+1,k+1) = (an+1 , ak+1 )
wynika, że d dzieli liczbę an+1 . Zatem an+1 = pd, gdzie p jest pewną liczbą naturalną. Bez
trudu stwierdzamy, że liczby całkowite
X(n, k) = pu,
Y (n, k) = pv
spełniają warunki naszego lematu.
Z lematu tego (dzięki indukcji matematycznej) otrzymujemy natychmiast następujące
twierdzenie ([3] str.353 ćwiczenie 86).
Twierdzenie. Każdy α-ciąg jest β-ciągiem.
Zanotujmy teraz kilka znanych przykładów α-ciągów.
Przykład 4. Liczbą Mersenne’a nazywamy każdą liczbę postaci
Mn = 2n − 1.
Ciąg (Mn ), kolejnych liczb Mersenne’a, jest α-ciągiem ([7] str. 373). Liczbę 2 możemy zastąpić
dowolną liczbą naturalną a > 1; Ciąg postaci (an − 1) jest α-ciągiem ([7] str. 11). Jeśli a > b
są względnie pierwszymi liczbami naturalnymi, to ciąg (an − bn ) jest również α-ciągiem ([3]
str.174 ćwiczenie 38).
Przykład 5. Niech f (x) będzie wielomianem zmiennej x o naturalnych współczynnikach.
Definiujemy ciąg (bn ) przyjmując:
b1 = f (0),
bn+1 = f (bn ) dla n ∈ N.
2
Ciąg ten jest α-ciągiem ([5] 1/1989, zadanie konkursowe M 1120). Jeśli f (x) = 2x + 1, to (bn )
jest ciągiem liczb Mersenne’a z przykładu 4.
Przykład 6. Liczbą Fibonacciego nazywamy każdy wyraz ciągu (un ) określonego wzorami:


 u1
= 1
u2
= 1

 u
n+2 = un+1 + un , dla n ∈ N.
Ciąg (un ) jest α-ciągiem ([8], [7] str. 280).
Przykład 7. Niech p i q będą
przyjmując:


 v1
v2

 v
n+2
ustalonymi liczbami naturalnymi. Definiujemy ciąg (vn )
= 1
= p
= pvn+1 + qvn , dla n ∈ N.
Ciąg (vn ) jest α-ciągiem ([4], [2]).
Przykład 8. Jest oczywiste, że jeśli (an ), (bn ) są α-ciągami, to ciąg (cn ), gdzie
cn = ban dla n ∈ N,
jest również α-ciągiem. Z faktu tego wynika na przykład, że ciągi:
(usn ) , (3vn − 1) , (u2n −1 )
są α-ciągami.
Uwagi.
1. Iloczyn dwóch α-ciągów nie musi być α-ciągiem. Ciąg (n(2n − 1)), będący iloczynem
dwóch α-ciągów, nie jest α-ciągiem. Jest natomiast β-ciągiem.
2. Ciąg (xn ), o wyrazach naturalnych, jest α-ciągiem wtedy i tylko wtedy, gdy
(xm , xn ) = (xm−n , xn ) ,
dla wszystkich liczb naturalnych m > n ([7] 282).
3. Z udowodnionego twierdzenia wynika, że jeśli (an ) jest α-ciągiem i s jest liczbą naturalną, to iloczyn każdych s kolejnych wyrazów ciągu (an ) jest podzielny przez a∗s = a1 a2 · · · as .
Literatura
[1] G. L. Alexanderson, L. F. Klosinski, A Fibonacci analogue of Gaussian binomial coefficients, Fibonacci Quarterly, 12(1974), 129 - 132.
[2] P. Domański, Uogólnione liczby Fibonacciego, Delta, 1(1979).
[3] R. L. Graham, D. E. Knuth, O. Patashnik, Matematyka konkretna, PWN, Warszawa,
1996.
[4] V. E. Hoggatt, Fibonacci numbers and generalized binomial coefficients, Fibonacci Quarterly, 5(1967), 383 - 400.
3
[5] Kwant, Miesięcznik matematyczno - fizyczny (po rosyjsku).
[6] W. Sierpiński, Teoria Liczb, Monografie Matematyczne, Warszawa 1950.
[7] W. Sierpiński, Teoria Liczb II, PWN, Warszawa 1959.
[8] N. N. Worobjow, Liczby Fibonacciego, (po rosyjsku), Popularne Lekcje z Matematyki 6,
Nauka, Moskwa, 1978.
4