Lista 12 -Równania diofantyczne 1. Znajdź wszystkie pierwotne

Lista 12 -Równania diofantyczne
1. Znajdź wszystkie pierwotne trójki pitagorejskie tworzące ciąg arytmetyczny.
2. Wykaż, że jeżeli x, y, z sa trójką pitagorejską, to pośród nich jest liczba podzielna
przez 3, podzielna przez 4 i podzielna przez 5.
3. Istnieje tylko jedna para nietrywialnych potęg złożona z kolejnych liczb naturalnych. Znajdź tę parę.
√
4. Korzystając z WTF wykaż, że√3 2 jest liczbą niewymierną. Czy potrafisz wykazać
w ten sposób niewymierność 3 3? Lub inne nieoczywiste modyfikacje.
5. Fermat wykazał, że x4 + y 4 =√
z 2 nie ma rozwiązań w dodatnich liczbach naturalnych. Wywnioskuj stąd, że 2 jest liczbą niewymierną.
6. Każda z dwu urn zawiera tę samą liczbę kul, część z nich biała, część czarna. Z
każdej z tych urn losujemy n krotnie ze zwracaniem jedna kulę.
a) Pokaż, że przy n = 2 można tak dobrać zawartości urn, aby prawdopdobieństwo, iż wszystkie kule wyciągnięte z I urny są białe było równe prawdopodobieństwu, że wszystkie kule wylosowane z II urny mają ten sam kolor (wszystkie
czarne albo wszystkie białe).
b) Czy można to osiągnąć przy n > 2?
7. Pokaż, ze równanie x2 + y 2 = z 3 ma nieskończenie wiele rozwiązań w liczbach
całkowitych.
8. Znajdź minimalne nietrywialne rozwiązanie równań x2 − ny 2 = 1 dla n = 11,
n = 13.
9. Niech rad(n) oznacza iloczyn wszystkich dzielników pierwszych liczby n. Hipoteza abc głosi, ze dla dowolnego ε > 0 istnieje stała Kε taka, że
c < Kε (rad(abc))1+ε
dla dowolnych naturalnych a, b, c względnie pierwszych spełniających równość
a + b = c. Wykaż, że z hipotezy abc wynika prawdziwość WTF dla prawie
wszystkich n.
Wsk. Możesz przyjąć ε = 1.
10. Wykaż, że pole trójkąta pitagorejskiego nie może być pełnym kwadratem.
11. Znajdź trójkąt prostokątny o bokach wymiernych i polu 5.
12. ** Udowodnij, że zbiór dodatnich wartości wielomianu
2y − x4 y − 2x3 y 2 + x2 y 3 + 2xy 4 − y 5
pokrywa się ze zbiorem liczb Fibonacciego.