Macierze Lekcja II: Mnożenie macierzy i macierz odwrotna
advertisement
Macierze Lekcja II: Mnożenie macierzy i macierz odwrotna Marek Skarupski Wydział Matematyki Politechniki Wrocławskiej Marek Skarupski Macierze Lekcja II: Mnożenie macierzy i macierz odwrotna Mnożenie macierzy: przypomnienie Przypomnijmy jeszcze raz czym jest mnożenie macierzy. Marek Skarupski Macierze Lekcja II: Mnożenie macierzy i macierz odwrotna Mnożenie macierzy: przypomnienie Przypomnijmy jeszcze raz czym jest mnożenie macierzy. Niech A = [ai,j ], A ∈ Mm,n oraz B = [bi,j ], B ∈ Mn,k . Zwróćmy uwagę na wymiary poszczególnych macierzy! Marek Skarupski Macierze Lekcja II: Mnożenie macierzy i macierz odwrotna Mnożenie macierzy: przypomnienie Przypomnijmy jeszcze raz czym jest mnożenie macierzy. Niech A = [ai,j ], A ∈ Mm,n oraz B = [bi,j ], B ∈ Mn,k . Zwróćmy uwagę na wymiary poszczególnych macierzy! W wyniku mnożenia macierzy dostajemy macierz C = [ci,j ], C ∈ Mm,k o elementach ci,j = ai,1 b1,j + ai,2 b2,j + ...ai,n bn,j . Marek Skarupski Macierze Lekcja II: Mnożenie macierzy i macierz odwrotna Mnożenie macierzy: przypomnienie Przypomnijmy jeszcze raz czym jest mnożenie macierzy. Niech A = [ai,j ], A ∈ Mm,n oraz B = [bi,j ], B ∈ Mn,k . Zwróćmy uwagę na wymiary poszczególnych macierzy! W wyniku mnożenia macierzy dostajemy macierz C = [ci,j ], C ∈ Mm,k o elementach ci,j = ai,1 b1,j + ai,2 b2,j + ...ai,n bn,j . Marek Skarupski Macierze Lekcja II: Mnożenie macierzy i macierz odwrotna Mnożenie macierzy Choć formalne ujęcie wygląda skomplikowanie, to jednak nie jest to aż tak straszne :) Spójrzmy na przykład: Marek Skarupski Macierze Lekcja II: Mnożenie macierzy i macierz odwrotna Mnożenie macierzy Choć formalne ujęcie wygląda skomplikowanie, to jednak nie jest to aż tak straszne :) Spójrzmy na przykład: Dane niech będą następujące macierze: 1 0 2 3 −1 2 B= A= 0 −1 3 −5 4 −3 Marek Skarupski Macierze Lekcja II: Mnożenie macierzy i macierz odwrotna Mnożenie macierzy Choć formalne ujęcie wygląda skomplikowanie, to jednak nie jest to aż tak straszne :) Spójrzmy na przykład: Dane niech będą następujące macierze: 1 0 2 3 −1 2 B= A= 0 −1 3 −5 4 −3 Klucz do zrozumienie mnożenia to tak na prawdę estetyczny zapis. Marek Skarupski Macierze Lekcja II: Mnożenie macierzy i macierz odwrotna Mnożenie macierzy 1 2 0 4 0 3 · -1 −1 3 −3 2 -5 Marek Skarupski Macierze Lekcja II: Mnożenie macierzy i macierz odwrotna = Mnożenie macierzy 1 2 0 4 0 3 · -1 −1 3 −3 2 -5 Marek Skarupski Macierze Lekcja II: Mnożenie macierzy i macierz odwrotna = 1 · (-1) + 0 · 3 Mnożenie macierzy 1 2 0 4 0 3 · -1 −1 3 −3 2 -5 Marek Skarupski Macierze Lekcja II: Mnożenie macierzy i macierz odwrotna = 1 · (-1) + 0 · 3 1 · 2 + 0 · (-5) Mnożenie macierzy 1 2 0 4 0 3 · -1 −1 3 −3 2 -5 Marek Skarupski Macierze Lekcja II: Mnożenie macierzy i macierz odwrotna = 1 · (-1) + 0 · 3 1 1 · 2 + 0 · (-5) −11 Mnożenie macierzy 1 2 0 4 0 3 · -1 −1 3 −3 2 -5 Marek Skarupski Macierze Lekcja II: Mnożenie macierzy i macierz odwrotna = 1 · (-1) + 0 · 3 1 −3 1 · 2 + 0 · (-5) −11 5 Mnożenie macierzy 1 2 0 4 0 3 · -1 −1 3 −3 2 -5 Marek Skarupski Macierze Lekcja II: Mnożenie macierzy i macierz odwrotna 1 · (-1) + 0 · 3 1 = −3 − 13 1 · 2 + 0 · (-5) −11 5 23 Mnożenie macierzy Ostatecznie: −1 2 1 −11 C = AB = −3 5 −13 23 Marek Skarupski Macierze Lekcja II: Mnożenie macierzy i macierz odwrotna Mnożenie macierzy Ostatecznie: −1 2 1 −11 C = AB = −3 5 −13 23 Zwróćmy uwagę, że odwrotna operacja nie jest możliwa. Marek Skarupski Macierze Lekcja II: Mnożenie macierzy i macierz odwrotna Element neutralny mnożenia macierzy Przypomnijmy sobie najpierw, czym jest element neutralny mnożenia dwóch liczb. Marek Skarupski Macierze Lekcja II: Mnożenie macierzy i macierz odwrotna Element neutralny mnożenia macierzy Przypomnijmy sobie najpierw, czym jest element neutralny mnożenia dwóch liczb. Jest to oczywiście licza 1. Mnożenie przez 1 nie zmienia wartości liczby: x · 1 = 1 · x = x. Marek Skarupski Macierze Lekcja II: Mnożenie macierzy i macierz odwrotna Element neutralny mnożenia macierzy Przypomnijmy sobie najpierw, czym jest element neutralny mnożenia dwóch liczb. Jest to oczywiście licza 1. Mnożenie przez 1 nie zmienia wartości liczby: x · 1 = 1 · x = x. Podobnie jest w przypadku macierzy. Mnożenie przez macierz jednostkową nie zmienia postaci tej macierzy: AI = IA = A. Marek Skarupski Macierze Lekcja II: Mnożenie macierzy i macierz odwrotna Macierz odwrotna W zwykłym mnożeniu mamy też element odwrotny. Odwrotnością liczby x jest taka liczba y taka że, w wyniku mnożenia tych dwóch liczb dostajemy 1. Oczywiście y = x1 = x −1 . Marek Skarupski Macierze Lekcja II: Mnożenie macierzy i macierz odwrotna Macierz odwrotna W zwykłym mnożeniu mamy też element odwrotny. Odwrotnością liczby x jest taka liczba y taka że, w wyniku mnożenia tych dwóch liczb dostajemy 1. Oczywiście y = x1 = x −1 . Podobnie jest z macierzami. Marek Skarupski Macierze Lekcja II: Mnożenie macierzy i macierz odwrotna Macierz odwrotna W zwykłym mnożeniu mamy też element odwrotny. Odwrotnością liczby x jest taka liczba y taka że, w wyniku mnożenia tych dwóch liczb dostajemy 1. Oczywiście y = x1 = x −1 . Podobnie jest z macierzami. Niech A = [ai,j ], A ∈ Mn,n . Macierzą odwrotną do A nazywamy taką macierz B = [bi,j ], B ∈ Mm,n , że AB = BA = I . Marek Skarupski Macierze Lekcja II: Mnożenie macierzy i macierz odwrotna Macierz odwrotna W zwykłym mnożeniu mamy też element odwrotny. Odwrotnością liczby x jest taka liczba y taka że, w wyniku mnożenia tych dwóch liczb dostajemy 1. Oczywiście y = x1 = x −1 . Podobnie jest z macierzami. Niech A = [ai,j ], A ∈ Mn,n . Macierzą odwrotną do A nazywamy taką macierz B = [bi,j ], B ∈ Mm,n , że AB = BA = I . Macierz odwrotną oznaczamy jako A−1 Marek Skarupski Macierze Lekcja II: Mnożenie macierzy i macierz odwrotna Macierz odwrotna: istnienie i wyznaczanie Niestety macierz odwrotna nie zawsze istnieje. Warunek na to podamy dopiero po lekcji o wyznacznikach. Marek Skarupski Macierze Lekcja II: Mnożenie macierzy i macierz odwrotna Macierz odwrotna: istnienie i wyznaczanie Niestety macierz odwrotna nie zawsze istnieje. Warunek na to podamy dopiero po lekcji o wyznacznikach. Istnieją dwie metody wyznaczania macierzy odwrotnej: jedna z nich opiera się na przekształceniach elementarnych. Druga po raz kolejny wymaga znajomości wyznaczników. Ale to już wkrótce :) Marek Skarupski Macierze Lekcja II: Mnożenie macierzy i macierz odwrotna Przekształcenia elementarne Przekształceniami elementarnymi nazywamy następujące operacje: Marek Skarupski Macierze Lekcja II: Mnożenie macierzy i macierz odwrotna Przekształcenia elementarne Przekształceniami elementarnymi nazywamy następujące operacje: przestawienie dwóch kolumn (wierszy) w całości! Marek Skarupski Macierze Lekcja II: Mnożenie macierzy i macierz odwrotna Przekształcenia elementarne Przekształceniami elementarnymi nazywamy następujące operacje: przestawienie dwóch kolumn (wierszy) w całości! pomnożenie dowolnej kolumny (wierszy) przez liczbę różną od 0! Marek Skarupski Macierze Lekcja II: Mnożenie macierzy i macierz odwrotna Przekształcenia elementarne Przekształceniami elementarnymi nazywamy następujące operacje: przestawienie dwóch kolumn (wierszy) w całości! pomnożenie dowolnej kolumny (wierszy) przez liczbę różną od 0! dodatnie lub odjęcie od jednej kolumny (wiersza) dowolnej drugiej kolumny (wiersza) Marek Skarupski Macierze Lekcja II: Mnożenie macierzy i macierz odwrotna Przekształcenia elementarne Przekształceniami elementarnymi nazywamy następujące operacje: przestawienie dwóch kolumn (wierszy) w całości! pomnożenie dowolnej kolumny (wierszy) przez liczbę różną od 0! dodatnie lub odjęcie od jednej kolumny (wiersza) dowolnej drugiej kolumny (wiersza) Przekształcenia elementarne nie zmieniają niektórych własności macierzy. Niemniej jednak należy je stosować bardzo ostrożnie. Marek Skarupski Macierze Lekcja II: Mnożenie macierzy i macierz odwrotna Przekształcenia elementarne: przykład 1 −1 1 1 1 2 3 −→ 0 2 1 −1 2 1 −1 1 1 0 3 2 −→ 0 0 1 −1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 Marek Skarupski Macierze Lekcja II: Mnożenie macierzy i macierz odwrotna −1 3 1 0 3 1 1 1 −1 1 2 −→ 0 3 2 −→ −1 0 3 −3 0 1 0 0 2 −→ 0 5 0 −→ −1 0 1 −1 Przekształcenia elementarne: przykład 1 −1 1 1 1 2 3 −→ 0 2 1 −1 2 1 −1 1 1 0 3 2 −→ 0 0 1 −1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 −1 3 1 0 3 1 1 1 −1 1 2 −→ 0 3 2 −→ −1 0 3 −3 0 1 0 0 2 −→ 0 5 0 −→ −1 0 1 −1 Jeżeli macierz można sprowadzić do macierzy jednostkowej to można ją także odwrócić. Marek Skarupski Macierze Lekcja II: Mnożenie macierzy i macierz odwrotna Odwracanie macierzy Aby odwrócić macierz dopisujemy do niej macierzy jednostkowej: 1 −1 1 1 1 2 3 0 2 1 −1 0 Marek Skarupski Macierze Lekcja II: Mnożenie macierzy i macierz odwrotna uzupełnienie w postaci 0 1 0 0 0 1 Odwracanie macierzy Aby odwrócić macierz dopisujemy do niej macierzy jednostkowej: 1 −1 1 1 1 2 3 0 2 1 −1 0 uzupełnienie w postaci 0 1 0 0 0 1 Traktujemy całość jak macierz o wymiarach nx2n (tutaj: 3x6). Metodą przekształceń elementarnych na wierszach przekształcamy macierz, tak aby w pierwszej części uzyskać macierz jednostkową. 1 1 0 1 0 0 3 3 2 0 1 0 −7 1 15 5 15 1 1 0 0 1 − 15 5 5 Marek Skarupski Macierze Lekcja II: Mnożenie macierzy i macierz odwrotna Odwracanie macierzy Aby odwrócić macierz dopisujemy do niej macierzy jednostkowej: 1 −1 1 1 1 2 3 0 2 1 −1 0 uzupełnienie w postaci 0 1 0 0 0 1 Traktujemy całość jak macierz o wymiarach nx2n (tutaj: 3x6). Metodą przekształceń elementarnych na wierszach przekształcamy macierz, tak aby w pierwszej części uzyskać macierz jednostkową. 1 1 0 1 0 0 3 3 2 0 1 0 −7 1 15 5 15 1 1 0 0 1 − 15 5 5 I tak uzyskana macierz jest macierzą odwrotną. Marek Skarupski Macierze Lekcja II: Mnożenie macierzy i macierz odwrotna Przykłady w Scilab W Scilab możemy macierz odwrotną uzyskać w dwojaki sposób: Marek Skarupski Macierze Lekcja II: Mnożenie macierzy i macierz odwrotna Przykłady w Scilab W Scilab możemy macierz odwrotną uzyskać w dwojaki sposób: polecenie A∧ (-1) Marek Skarupski Macierze Lekcja II: Mnożenie macierzy i macierz odwrotna Przykłady w Scilab W Scilab możemy macierz odwrotną uzyskać w dwojaki sposób: polecenie A∧ (-1) polecenie inv(A) Marek Skarupski Macierze Lekcja II: Mnożenie macierzy i macierz odwrotna Podziękowania Dziękuję za uwagę Marek Skarupski Macierze Lekcja II: Mnożenie macierzy i macierz odwrotna