liga zadaniowa rozwiązania zadań ze stycznia

LIGA ZADANIOWA
ROZWIĄZANIA ZADAŃ ZE STYCZNIA
Zad. 1.
Suma cyfr pewnej liczby dwucyfrowej A jest równa 11. Gdy A zwiększymy o 27, to
otrzymamy liczbę, której cyfry będą zapisane w odwrotnej kolejności. Ile wynosi A?
Zad. 2.
Ile jest liczb naturalnych trzycyfrowych podzielnych przez 13?
Zad. 3.
Wykaż, że w trójkącie prostokątnym suma długości przyprostokątnych jest mniejsza od sumy
długości przeciwprostokątnej i podwojonej długości wysokości opuszczonej z wierzchołka
przy kącie prostym.
Odpowiedzi:
Zad. 1.
Liczba A to 47. Zauważmy, że liczby dwucyfrowe o sumie cyfr 11, które należy rozważyć, to
29, 38, 47 i 56, ponieważ większe od nich, tj. 65, 74, 83 i 92, mają cyfrę jedności mniejszą od
cyfry dziesiątek, czyli po przestawieniu cyfr nie uzyskamy liczb większych. Łatwo sprawdzić,
że spośród liczb 29, 38, 47 i 56 tylko 47 spełnia warunki zadania, bo 47+27=74.
Zad. 2.
Takich liczb jest 69. Najmniejszą liczbą trzycyfrową podzielną przez 13 jest 104 = 13·8, a
największą 988 = 13·76. Wszystkich liczb trzycyfrowych podzielnych przez 13 jest tyle, ile
liczb od 8 do 76 włącznie, czyli 76-7 = 69.
Zad. 3.
W trójkącie prostokątnym ABC z kątem prostym w wierzchołku C oznaczmy: długości
przyprostokątnych |AC|=b i |BC|=a, długość przeciwprostokątnej |AB|=c, długość wysokości
opuszczonej z wierzchołka kąta prostego |CD|=h i długość odcinka |BD|=x. Z nierówności
trójkąta otrzymujemy a < h+x oraz b < h+c-x. Po dodaniu tych nierówności stronami,
otrzymamy a+b < h+x+h+c-x, a to po uproszczeniu daje a+b < 2h+c.