zestaw zadań z kresów podzbiorów liczb rzeczywistych

ZESTAW ZADAŃ Z KRESÓW PODZBIORÓW
LICZB RZECZYWISTYCH
1. Niech M i N będą podzbiorami zbioru R wszystkich liczb rzeczywistych, takimi że ∅ 6= M ⊂ N i N jest zbiorem ograniczonym z góry.
Udowodnić, że wtedy także zbiór M jest ograniczony z góry oraz zachodzi nierówność:
sup M ¬ sup N.
2. Niech M i N będą podzbiorami zbioru R, takimi że ∅ 6= M ⊂ N i N
jest zbiorem ograniczonym z dołu. Udowodnić, że wtedy także zbiór
M jest ograniczony z dołu oraz zachodzi wzór:
inf M ­ inf N.
3. Niech M będzie niepustym podzbiorem zbioru R ograniczonym z góry.
Określmy zbiór −M wzorem:
−M := {−x : x ∈ M } = {y ∈ R : −y ∈ M }.
Udowodnić, że zbiór −M jest ograniczony z dołu i zachodzi wzór:
inf(−M ) = − sup M.
4. Niech M będzie niepustym podzbiorem zbioru R ograniczonym z dołu.
Określmy zbiór −M jak w zadaniu 3. Udowodnić, że zbiór −M jest
ograniczony z góry i zachodzi wzór:
sup(−M ) = − inf M.
5. Niech M będzie niepustym podzbiorem zbioru R+ ograniczonym z
góry. Określmy zbiór M −1 wzorem:
M −1 := {x−1 ∈ R+ : x ∈ M } = {y ∈ R+ : y −1 ∈ M }.
Udowodnić, że zbiór M −1 jest ograniczony z dołu i zachodzi wzór:
inf(M −1 ) = (sup M )−1 .
1
6. Niech M będzie niepustym podzbiorem zbioru R+ ograniczonym z
dołu przez pewną liczbę dodatnią. Niech zbiór M −1 będzie określony
jak w zadaniu 5. Udowodnić, że zbiór M −1 jest ograniczony z góry i
zachodzi wzór:
sup(M −1 ) = (inf M )−1 .
7. Niech zbiory M i N , ∅ 6= M, N ⊂ R będą ograniczone z dołu. Udowodnić, że zbiór M ∪ N jest ograniczony z dołu oraz
inf(M ∪ N ) = min{inf M, inf N }.
8. Niech zbiory M i N , ∅ 6= M, N ⊂ R będą ograniczone z góry. Udowodnić, że zbiór M ∪ N jest ograniczony z góry i
sup(M ∪ N ) = max{sup M, sup N }.
9. Niech zbiory M i N , ∅ 6= M, N ⊂ R będą ograniczone z góry. Określmy zbiór M + N wzorem:
M + N := {x + y ∈ R : x ∈ M, y ∈ N }.
Udowodnić, że zbiór M + N jest ograniczony z góry i zachodzi wzór:
sup(M + N ) = sup M + sup N.
10. Niech zbiory M i N , ∅ 6= M, N ⊂ R będą ograniczone z dołu. Określmy zbiór M + N jak w zadaniu 9. Udowodnić, że zbiór M + N jest
ograniczony z dołu i zachodzi wzór:
inf(M + N ) = inf M + inf N.
11. Niech M i N będą niepustymi podzbiorami zbioru R+ ograniczonymi
z góry. Określmy zbiór M N wzorem:
M N := {xy ∈ R+ : x ∈ M, y ∈ N }.
Udowodnić, że zbiór M N jest ograniczony z góry i zachodzi wzór:
sup(M N ) = sup M · sup N.
2
12. Niech M i N będą niepustymi podzbiorami zbioru R+ ograniczonymi
z dołu przez pewne liczby dodatnie. Niech zbiór M N będze określony
jak w zadaniu 11. Udowodnić, że zbiór M N jest ograniczony z dołu i
zachodzi wzór:
inf(M N ) = inf M · inf N.
13. Niech zbiór M, ∅ 6= M ⊂ R będzie ograniczony z dołu, a zbiór N, ∅ 6=
N ⊂ R będzie ograniczony z góry. Określmy zbiór M − N wzorem:
M − N := {x − y ∈ R : x ∈ M, y ∈ N }.
Udowodnić, że zbiór M − N jest ograniczony z dołu i zachodzi wzór:
inf(M − N ) = inf M − sup N.
14. Niech zbiór M, ∅ 6= M ⊂ R będzie ograniczony z góry, a zbiór N, ∅ 6=
N ⊂ R ograniczony z dołu. Określmy zbiór M − N jak w zadaniu 13.
Udowodnić, że zbiór M − N jest ograniczony z góry i zachodzi wzór:
sup(M − N ) = sup M − inf N.
15. Uzasadnić, że zbiór Q := {q n : 0 < q < 1, n ∈ N} jest ograniczony.
Wyznaczyć kresy zbioru.
16. Uzasadnić, że zbiór K := { k1 : k ∈ N} jest ograniczony. Wyznaczyć
kresy zbioru.
Zbadać, które z podanych niżej zbiorów liczb rzeczywistych są ograniczone z góry, które są ograniczone z dołu, a które są nieograniczone.
Wyznaczyć kresy zbiorów ograniczonych i uzasadnić odpowiednie nieorgraniczoności:
17. A := { x2x+1 : x ∈ R}.
18. B := {2t + 2−t : t ∈ R}.
3
19. C := { n3n+1 : n ∈ N}.
20. D := { n21+1 : n ∈ N}.
2
n
: n ∈ N}.
21. E := { n+1
n
22. F := {2n(−1) : n ∈ N}.
3
n
23. G := {( 13 )n(−1) : n ∈ N}.
n
24. H := {2 − 3n(−1) : n ∈ N}.
n
25. I := {1 + ( 12 )n(−1) : n ∈ N}.
n
26. J := [1 + (−1)n ] n2 +
n
27. L := [1 + (−1)n ] n +
(−1)n −1
n
1−(−1)n
n
o
:n∈N .
o
:n∈N .
28. P := {2n − 5n : n ∈ N}.
opracowała:
dr Swietłana Minczewa-Kamińska
Rzeszów, październik 2009 r.
4