TRÓJKĄT
advertisement
FIGURY PŁASKIE TRÓJKĄT Trójkąt – domknięta część płaszczyzny, ograniczona łamaną zamkniętą złożoną z trzech odcinków. Najprostszy z wielokątów. Trójkąt jest najmniejszą figurą wypukłą i domkniętą, zawierającą pewne trzy ustalone i nie współliniowe punkty płaszczyzny. Odcinki tworzące łamaną nazywamy bokami trójkąta, punkty wspólne dla sąsiednich boków nazywamy wierzchołkami trójkąta. Nietrudno zauważyć, że każdy trójkąt jest jednoznacznie określony przez swoje wierzchołki. Często dla wygody jeden z boków trójkąta nazywamy podstawą, pozostałe - ramionami. W każdym trójkącie suma miar kątów wewnętrznych między bokami wynosi 180°, zaś długości boków muszą spełniać pewne zależności. PODZIAŁ TRÓJKĄTÓW • • • • Trójkąt prostokątny Trójkąt równoramienny Trójkąt równoboczny Trójkąt różnoboczny TRÓJKĄT PROSTOKĄTNY a, b - długości przyprostokątnych, c - długość przeciwprostokątnej, α, β - miary kątów ostrych, h - długość wysokości opuszczonej na przeciwprostokątną c Trójkąt prostokątny - trójkąt, którego jeden z kątów wewnętrznych jest prosty. Dwa boki trójkąta leżące obok kąta prostego nazywane są przyprostokątnymi, a trzeci bok przeciwprostokątną. Własności trójkąta prostokątnego: • trójkąt prostokątny spełnia twierdzenie Pitagorasa; • średnicą okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym jest jego przeciwprostokątna c. • w trójkącie prostokątnym jeden z kątów ma jak sama nazwa mówi miarę 90 stopni. Jeśli pozostałe kąty leżące przy podstawie są równej miary wtedy trójkąt prostokątny jest również trójkątem równoramiennym. POLE TRÓJKĄTA PROSTOKĄTNEGO Zależności w trójkącie prostokątnym TRÓJKĄT RÓWNOBOCZNY • • • • Trójkąt równoboczny to trójkąt, którego wszystkie boki mają tę samą długość. Taki trójkąt ma następujące własności: każdy jego kąt wewnętrzny ma miarę 60 stopni jego wysokości pokrywają się z dwusiecznymi, symetralnymi i środkowymi, oraz dzielą się w stosunku 1 : 2 ; jest to szczególny przypadek trójkąta równoramiennego; jest to wielokąt foremny WZORY • • • • Obwód: Pole: Wysokość: Długość promienia okręgu wpisanego wynosi: • Długość promienia okręgu opisanego wynosi: TRÓJKĄT RÓWNORAMIENNY Trójkąt równoramienny – trójkąt o (co najmniej) dwóch bokach równej długości. Te dwa boki zwane są ramionami, a trzeci bok podstawą trójkąta równoramiennego. Posiada co najmniej jedną oś symetrii - przecinającą podstawę w połowie długości oraz przechodzącą przez wierzchołek kąta łączącego ramiona. W trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie są przystające. Szczególnymi przypadkami trójkąta równoramiennego są: • trójkąt równoboczny - wówczas dowolnie obrana podstawa ma długość równą długości każdego z ramion • równoramienny trójkąt prostokątny - kąt prosty może być zawarty jedynie pomiędzy ramionami o tej samej długości. Długość podstawy wynosi zawsze • równoramienny trójkąt rozwartokątny - kąt rozwarty znajduje się zawsze między ramionami tej samej długości; podstawa jest dłuższa od każdego z ramion POLE TRÓJKĄTA RÓWNORAMIENNEGO TRÓJKĄT RÓŻNOBOCZNY KWADRAT kolor czarny - brzeg kwadratu, kolor niebieski - okrąg opisany; kolor brązowy - okrąg wpisany Kwadrat – prostokąt o wszystkich bokach równej długości. Można też powiedzieć, że kwadrat to romb którego wszystkie kąty wewnętrzne są proste, lub: kwadrat to prostokąt będący jednocześnie rombem. Niektóre właściwości kwadratu: • Przeciwległe boki są równoległe • Przekątne przecinają się w połowie • Punkt przecięcia przekątnych jest środkiem symetrii • Wszystkie kąty wewnętrzne są proste • Przekątne mają równą długość • Przekątne zawierają się w dwusiecznych kątów kwadratu • Przekątne przecinają się pod kątem prostym • Kwadrat posiada cztery osie symetrii: dwie z nich to proste zawierające przekątne (jak w rombie), pozostałe dwie to symetralne boków (jak w prostokącie) • Osie symetrii kwadratu dzielą go na 8 przystających trójkątów prostokątnych równoramiennych • Każde dwa kwadraty są do siebie podobne. Kwadrat jest czworokątem foremnym WZORY • Pole: • Długość przekątnej: • Promień okręgu wpisanego: • Promień okręgu opisanego: PROSTOKĄT Prostokąt - w planimetrii, czworokąt, który ma wszystkie kąty proste (stąd również jego nazwa). Prostokąt jest szczególnym przypadkiem trapezu prostokątnego oraz równoległoboku. Szczególnym przypadkiem prostokąta (o wszystkich bokach tej samej długości) jest kwadrat. Prostokąt, który nie jest kwadratem, ma dokładnie dwie osie symetrii i środek symetrii. Przekątne prostokąta są równej długości i przecinają się w połowie. WZORY • Pole: • Obwód: • Przekątna: ROMB Romb – równoległobok, który ma wszystkie cztery boki równej długości. Szczególnym przypadkiem tego wielokąta (o wszystkich kątach prostych) jest kwadrat. Słowo romb pochodzi od greckiego słowa rembo, które oznacza dosłownie obracający się. Przekątne rombu przecinają się w połowie pod kątem prostym. Suma miar wszystkich kątów wewnętrznych wynosi 2π (360 stopni), ponieważ to własność wszystkich czworokątów. WZORY • Pole: • Promień koła wpisanego: • Przekątne: RÓWNOLEGŁOBOK Równoległobok - jest szczególnym przypadkiem trapezu. Jego przeciwległe boki są nie tylko równoległe, ale też równej długości. Jego przekątne przecinają się w połowie swojej długości (nie zawsze pod kątem prostym). Przeciwległe kąty są równej miary. Suma miar kątów sąsiednich wynosi 180° (kąt półpełny). Szczególnymi przypadkami równoległoboku są romb (o wszystkich bokach takiej samej długości) oraz prostokąt (o wszystkich kątach prostych), a także kwadrat (o wszystkich bokach takiej samej długości i kątach prostych). WZORY • Pole: • Długość przekątnych: