Logika

Rachunek zdań.
Podstawowe elementy języka rachunku zdań:
a) zmienne zdaniowe: p, q, r
b) operatory logiczne ( funktory ):
- negacja ~ lub 
- koniunkcja 
- alternatywa 
- implikacja 
- równoważność 
c) nawiasy: ( ); [ ]; { }...
Ad. a)
Zmienne zdaniowe reprezentują zdania, którym przysługują wartości logiczne: prawda
(T lub 1 ) i fałsz (F lub 0 ).Omawiany rachunek zdań nazywamy klasycznym, gdyż zakłada
się, że zdanie przyjmuje jedną z dwóch wartości logicznych ( 1; 0 ). Inne rachunki bez tego
założenia nazywamy wielowartościowymi rachunkami zdań.
Ad. b)
Za pomocą operatorów budujemy zdania złożone ze zdań prostych. Wartość logiczna
tych zdań zależy od wartości zdań składowych. Mamy więc:
p
1
0
p
0
1
p
1
1
0
0
q
1
0
1
0
pq
1
0
0
0
1 zdanie fałszywe to
całość fałszywa
pq
1
1
1
0
1 zdanie prawdziwe to
całość prawdziwa
pq
1
0
1
1
pq
1
0
0
1
Ad. c)
Nawiasy, jako znaki pomocnicze, zmieniają naturalną kolejność operacji logicznych,
tzn. najmocniejsza jest negacja, później koniunkcja, alternatywa, implikacja i równoważność.
Przykładowo:
pq  p
oraz
(pq)  p
Def.
Matrycą logiczną zdania złożonego, zbudowanego ze zdań prostych p, q, r, ...,
nazywamy tablice podającą wartości logiczne tego zdania złożonego, w zależności od
wartości logicznych zdań prostych.
Wniosek:
Wartość logiczną zdania złożonego możemy obliczyć, wyznaczając po kolei wartości
logiczne zdań prostych.
Ex. 1
Zapisz poniższe zdanie za pomocą symboliki logicznej używając zmiennych
zdaniowych p, q, ... oraz operatorów logicznych: , , , ,  i podaj jego matrycę.
Jeśli pada deszcz, to nie świeci słońce i na niebie są chmury.
p = „pada deszcz”
q = „świeci słońce”
r = „na niebie są chmury”
p  q  r
Budujemy matrycę tego zdania:
P
q
1
1
1
1
1
0
1
0
0
1
0
1
0
0
0
0
N
Przypadki 2
N=p+q+r+...
q
0
0
1
1
0
0
1
1
r
1
0
0
1
0
1
1
0
q  r
0
0
0
1
0
0
1
0
p  q  r
0
0
0
1
1
1
1
1
(pq)  (qp)
Matryca zdania:
p
1
1
0
0
q
1
0
1
0
pq
1
0
1
1
qp
1
1
0
1
( p  q)  ( q  p )
1
0
0
1
Zdania złożone, które są prawdziwe, niezależnie od wartości logicznych zmiennych
zdaniowych w nich występujących nazywamy tautologiami ( prawami logiki ); te zaś, które są
zawsze fałszywe nazywamy kontrtautologiami lub też wewnętrznie sprzecznymi.
Zdanie p p jest tautologią, bo matryca zdaniowa zawsze przyjmuje wartość 1, zaś zdanie
p  p jest kontrtautologią, gdyż matryca przyjmuje zawsze wartość 0.
p
1
0
pp
1
1
p
1
0
p p  p
0
0
1
0
Ex.2
Zbuduj matrycę logiczną dla zdania złożonego P, wskaż czy jest ono tautologią, czy
kontrtautologią.
P = (p  q)  [(p q)  (p  q)]
p
q
q
pq
p  q
pq
1
1
0
0
1
0
1
0
0
1
0
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
0
0
0
(pq)
(pq)
1
0
1
0
P
1
1
1
0
Ponieważ w ostatniej kolumnie pojawiają się 0 i 1 to zdanie to nie jest ani tautologią, ani
kontrtautologią.
Najbardziej znane tautologie:
1. [(pq) p]  q
modus ponendo ponens( można wypr. następnik znając poprz. )
2. [(pq)q]  p
modus tollendo tollens
3. (pq)  p  q
prawa de Morgana
4. (pq)  p  q
5. p  (p  p)
prawo Dunusa Szkota
6. (pp)  p
prawo redukcji do absurdu
7. [(pq) r]  [p(q r)]
prawo eksportacji
8. [p(q r)]  [(pq) r]
prawo importacji
9. [(p q)(q r)]  (pr )
prawo sylogizmu warunkowego
Spis treści:
RACHUNEK ZDAŃ. ............................................................................................................................................ 1
IDEA DEDUKCJI. ................................................................................ERROR! BOOKMARK NOT DEFINED.
AKSJOMATYCZNE UJĘCIE RACHUNKU ZDAŃ. .......................ERROR! BOOKMARK NOT DEFINED.
NOTACJA BEZNAWIASOWA ŁUKASIEWICZA. ........................ERROR! BOOKMARK NOT DEFINED.
ANALIZA ROZUMOWAŃ. ................................................................ERROR! BOOKMARK NOT DEFINED.
ALTERNATYWNE UJĘCIE RACHUNKU ZDAŃ. .........................ERROR! BOOKMARK NOT DEFINED.
RACHUNEK KWANTYFIKATORÓW PIERWSZEGO RZĘDU. ERROR! BOOKMARK NOT DEFINED.
RACHUNEK ZBIORÓW. ...................................................................ERROR! BOOKMARK NOT DEFINED.
OPERACJE NA ZBIORACH I ICH GEOMETRYCZNE INTERPRETACJE......... ERROR! BOOKMARK
NOT DEFINED.
TWIERDZENIA RACHUNKU ZBIORÓW. .....................................ERROR! BOOKMARK NOT DEFINED.
PRAWA ALGEBRY ZBIORÓW. .......................................................ERROR! BOOKMARK NOT DEFINED.
ELEMENTY TEORII RELACJI. .......................................................ERROR! BOOKMARK NOT DEFINED.
RELACJA RÓWNOWAŻNOŚCI. ......................................................ERROR! BOOKMARK NOT DEFINED.
RELACJE PORZĄDKUJĄCE. ...........................................................ERROR! BOOKMARK NOT DEFINED.
ILOCZYN KARTEZJAŃSKI..............................................................ERROR! BOOKMARK NOT DEFINED.
FUNKCJE. .............................................................................................ERROR! BOOKMARK NOT DEFINED.
OPERACJE NA FUNKCJACH. .........................................................ERROR! BOOKMARK NOT DEFINED.
MOCE ZBIORÓW. ZBIORY NIESKOŃCZONE ............................ERROR! BOOKMARK NOT DEFINED.
FUNKCJE OBLICZALNE. .................................................................ERROR! BOOKMARK NOT DEFINED.
ALGEBRY BOOLE’A. ........................................................................ERROR! BOOKMARK NOT DEFINED.
ALFABETYCZNY INDEKS HASEŁ:................................................ERROR! BOOKMARK NOT DEFINED.