a = ½ (RA + RP)

Prawo powszechnego ciążenia i prawa Keplera
a = ½ (RA + RP)
e=c/a
RA = a + c
RP = a - c
T2 / a 3 = constant
Stałe:
G=6,67 10-11 Nm2/kg2
Ziemia
masa
5,98 1024 kg
promieo
6,38 106 m
średnia odl. od Słooca 1,5 1011 m
Księżyc
masa
7,35 1022 kg
promieo
1,74 106 m
średnia odl. od Ziemi 3,85 108 m
Słooce
masa
1,99 1030 kg
promieo
6,96 108 m
1. Załóżmy, że mógłbyś stanąd na Jowiszu, którego masa wynosi 1,9 1027 kg oraz promieo około 70000 km.
a) Jakie jest przyspieszenie grawitacyjne na jego powierzchni? Ile razy większe od ziemskiego?
b) Ile ważyłbyś na jego powierzchni, jeśli przyjmiemy, że masz masę 75 kg?
c) Księżyc Jowisza Io ma masę 8,93 1022 kg. Silny wulkanizm księżyca wywołany jest przyciąganiem
grawitacyjnym planety, które wynosi 6,36 1022N. W jakiej odległości od Jowisza znajduje się Io?
2. Odległośd peryhelium Merkurego od środka Słooca wynosi 45,8 109 m, a aphelium 70,0 109 m. Jaki jest
mimośród jego orbity?
3. Pewna planeta ma masę dwukrotnie większą od Ziemi, lecz taką samą średnicę.
a) Jakie jest przyspieszenie grawitacyjne na jej powierzchni?
b) Na jakiej wysokości nad powierzchnią tej planety przyspieszenie grawitacyjne jest takie samo jak na
powierzchni Ziemi?
4. Średnia odległośd Ziemi od Słooca wynosi 150 109 m a okres orbitalny 365 dni.
a) Zakładając, że Ziemia porusza się po prawie kołowej orbicie, wyznacz jej szybkośd orbitalną.
b) Jakie jest natężenie pola grawitacyjnego Słooca w tej odległości?
c) Jaka jest masa Słooca?
5. Planetoida Westa krąży między Marsem a Jowiszem w okresie 3,63 lat po orbicie o mimośrodzie 0,09.
Planetoida Hidalgo, planetoida z grupy centaurów, krąży wokół Słooca w okresie 13,76 lat po orbicie
o mimośrodzie 0,66. Przedstaw na rysunku wzajemne położenie orbit tych planetoid i Ziemi (przyjmij, że
Ziemia ma orbitę kołową) w skali: 1 AU = 1 cm.
Wskazówka: Elipsę o parametrach a oraz e kreślimy następująco. Kreślimy odcinek długości 2a. Od środka
odcinka odmierzamy w obie strony odcinek c wyznaczając położenie obydwu ognisk elipsy. W ogniskach
wbijamy szpilki o które zaczepiamy nitkę o długości 2a; jeśli chcemy zarzucid pętlę, to długośd nici musi byd
powiększona o odległośd ognisk od siebie.
6. Słynna kometa Halley’a, która ostatnio gościła na niebie w 1986 r., okrąża Słooce w okresie 76 lat,
a mimośród jej orbity wynosi 0,97.
a) Jaka jest średnia odległośd komety od Słooca?
b) Jaka jest najmniejsza odległośd komety od Słooca?
c) Jaka jest odległośd aphelium?
d) Jaki jest stosunek szybkości komety w punkcie przysłonecznym do szybkości w punkcie odsłonecznym?
7. System nawigacji satelitarnej GPS (ang. Global Positioning System) składa się z satelitów krążących po
równikowych orbitach na wysokości około 20183 km.
a) Jaki ciężar ma na orbicie jeden ze składników systemu, jeśli jego masa wynosi 1350 kg?
b) Z jaką szybkością krążą po tej orbicie satelity?
c) Jaki jest okres obiegu satelity wokół Ziemi?
8. W 1969 r, podczas wyprawy Apollo 11 moduł załogowy Columbia, z Michaellem Collinsem na pokładzie,
pozostał na orbicie księżycowej znajdującej się 100 km od jego powierzchni. Jaki był okres obiegu tego
modułu wokół Księżyca?
9. Pierścienie Saturna utworzone są głównie z lodu i w mniejszej ilości z odłamków skalnych. Pierścieo
wewnętrzny ma promieo 73 000 km, a zewnętrzny – 170 000 km.
a) Odłamki pierścienia wewnętrznego okrążają Saturna w okresie 5,58 godzin. Jaka jest masa Saturna?
b) Jaka jest szybkośd obrotu pierścienia wewnętrznego?
c) W jakim okresie obiegają Saturna składniki tworzące pierścieo zewnętrzny?
10. The Empire State Building - najwyższy budynek Nowego Jorku i masie 365 000 t znajduje się w odległości ok.
2 km od Central Parku. Jakie jest przyciąganie grawitacyjne między budynkiem a uczniem o masie 60 kg
znajdującym się w parku?
11. Uczeo znajdujący się na powierzchni Ziemi waży 450 N. Jaka byłaby jego waga w odległości 2-krotnie
większej od środka Ziemi?
12. Dwie planetoidy o masach 1012 kg i 5 1012 kg przyciągają się z siła 10 000 N. Jaka jest odległośd między
środkami ich mas?
13. Z jaką szybkością Księżyc krąży wokół Ziemi?
14. Na parkingu znajdują się dwa samochody o masach 700 kg i 650 kg. W jakiej odległości znajdują się
samochody, jeśli siła oddziaływania grawitacyjnego wynosi 3,03495 10-7 N?
15. Satelita geostacjonarny krąży po orbicie równikowej wokół Ziemi w okresie obrotu Ziemi wokół osi. Jaki jest
promieo jego orbity?
16. Stosując III prawo Keplera oblicz średnią odległośd Księżyca od Ziemi.
17. Stosując III prawo Keplera oblicz półoś wielką orbity Ziemi.
18. Księżyc Io krąży wokół Jowisza w okresie 1,77 dnia po orbicie o promieniu 421 800 km. W jakiej odległości od
środka Jowisza krąży księżyc Europa, jeśli obiega planetę w okresie 3,55 dnia?
19. Merkury krąży wokół Słooca w okresie 0,24 lat ziemskich. Jaka jest średnia odległośd Merkurego od Słooca?
20. Księżyc krąży wokół Ziemi w okresie 27,32 dnia. Międzynarodowa Stacja Kosmiczna okrąża Ziemię w okresie
ok. 90 minut. Jaki jest promieo orbity stacji oraz na jakiej wysokości krąży nad Ziemią ?
21. Średnia odległośd Jowisza od Słooca wynosi 5,2025 AU. Jaki jest okres obiegu planety w latach ziemskich?
22. Pomiędzy Marsem i Jowiszem krąży większośd planetoid w tzw. pasie głównym planetoid. Średni promieo
pasa wynosi 2,8 AU. W jakim okresie obiega planetoida Słooce położona w tej odległości?
23. Amerykaoska sonda kosmiczna Dawn (ang. Świt)ma w 2011 r. stad się satelitą planetoidy Westa. Masa
planetoidy wynosi 2,71 × 1020 kg. Z jaką szybkością poruszad się będzie wokół niej sonda, jeśli zostanie
umieszczona na orbicie o promieniu 400 km?
24. Teleskop kosmiczny Hubble’a krąży wokół Ziemi po orbicie położonej na wysokości 596 km nad jej
powierzchnią. Jaki jest okres biegu teleskopu wokół Ziemi?
25. Enceladus – jeden z księżyców Saturna, krąży wokół Saturna w odległości 237950 km w okresie około 1,3
dnia. Oblicz całkowitą masę układu Saturna i Enceladusa.
26. Charon jest największym księżycem planety karłowatej Pluton. Wiedząc, że krąży w odległości 19500 km od
planety w okresie 6,387 dnia wyznacz jego masę. Masa Plutona wynosi 1,3 1022kg.
27. Zakładając, że rakieta porusza się po elipsie, której peryhelium jest styczne do orbity Ziemi, a apogeum do
planety docelowej (orbita Hohmana) i start rakiety odbywa się z pominięciem ruchu Ziemi określ, ile czasu
zajmie rakiecie przelot z Ziemi na:
a) Wenus, wiedząc, że jej średnia odległośd od Słooca wynosi 0,72 AU,
b) Marsa, wiedząc, że jego średnia odległośd od Słooca wynosi 1,52 AU.
28. Masa Księżyca jest 81 razy mniejsza od masy Ziemi. Średnia odległośd Księżyca od Ziemi wynosi 384400 km.
W jakiej odległości od środka Ziemi znajduje się środek masy układu. Określ, jaką częśd promienia Ziemi
stanowi ta odległośd przyjmując, że promieo Ziemi wynosi w przybliżeniu 6380 km.
29. Algol – gwiazda zmienna (zadmieniowa)w gwiazdozbiorze Perseusza jest układem dwóch gwiazd
okrążających wspólny środek masy w okresie 2,87 doby. Prędkości składników wokół środka masy
(wyznaczone metodami spektralnymi) wynoszą 44 km/s i 220 km/s. Zakładając, że orbity gwiazd są okręgami
oblicz masy składników tej gwiazdy zadmieniowej.