11. Estymacja punktowa – zadania do samodzielnego rozwiązania

rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna (4inf, rpism, 2007/2008)
11. Estymacja punktowa – zadania do samodzielnego rozwiązania
1. Z partii kondensatorów wybrano losowo 12 sztuk i zmierzono ich pojemności otrzymując
(w pF): 4,45 4,40 4,42 4,38 4,44 4,36 4,40 4,39 4,45 4,35 4,40 4,36.
(a) Znajdź oszacowanie nieznanej wartości przeciętnej pojemności kondensatora pochodzącego z danej partii.
(b) Znajdź nieobciążone oszacowanie wariancji pojemności tych kondensatorów.
2. Zmienne losowe X1 , . . . , Xn mają rozkład o tej samej wartości oczekiwanej EXi = a,
i = 1, . . . , n. Wykaż, że estymatory postaci
T =
a1 X1 + · · · + an Xn
,
a1 + · · · + an
n
X
ai 6= 0,
ai ∈ R,
i=1
są nieobciążonymi estymatorami parametru a.
3. Niech X1 , X2 , . . . , Xn będzie próbą prostą z rozkładu o gęstości
1
f (x) = 2a
sin xa 1(0,aπ) (x).
Wykaż, że ân =
2
π
x̄n jest zgodnym i nieobciążonym estymatorem parametru a.
4. Rozważmy estymator
n
1X
θ̂(x1 , . . . , xn ) = 1 −
1(0,1) (xi )
n i=1
parametru θ = P (X > 1) zmiennej losowej o rozkładzie E(λ).
(a) Czy θ̂ jest zgodnym ciągiem estymatorów parametru θ?
(b) Oblicz ryzyko estymatora θ̂ w punkcie θ.
5. Zmienna losowa X ma rozkład o gęstości f (x) =
2
p2
x1[0,p) (x). Dla próby n-elementowej
2
przyjęto, że θ̂ = X̄ + X̄ jest estymatorem parametru θ =
estymator asymptotycznie nieobciążony?
6. Niech p̂n : R → R,
2
p( 23 p
3
+ 1). Czy jest to
n
1X
p̂n (x1 , . . . , xn ) =
1{1} (xi ).
n i=1
Pokaż, że {p̂n } jest mocno zgodnym ciągiem estymatorów parametru p rozkładu geometrycznego z parametrem p ∈ (0, 1). Oblicz ryzyko estymatora p̂n w punkcie p ∈ (0, 1).
7. Niech X1 , . . . , Xn będzie próbą losową prostą z rozkładu wykładniczego z parametrem λ.
Czy
λ̂ : Rn → R,
λ̂(x1 , . . . , xn ) = x̄ − x(1) ,
gdzie x(1) = min(x1 , . . . , xn ) jest asymptotycznie nieobciążonym estymatorem wartości
oczekiwanej?
8. Rozważmy estymator θ̂n : Rn → R,
θ̂n (x1 , . . . , xn ) = exp(−
x1 + · · · + xn
).
n
Uzasadnij, że {θ̂n }n∈N jest mocno zgodnym ciągiem estymatorów parametru
θ = P (X = 0), gdzie X ∼ P (λ).
1
rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna (4inf, rpism, 2007/2008)
9. Niech X1 , . . . , Xn będzie próbą prostą z rozkładu normalnego N (a, σ 2 ). Dobierz stałą k
tak, aby estymator
n−1
X
T =k
(Xi+1 − Xi )2
i=1
był nieobciążonym estymatorem parametru σ 2 .
10. Niech X1 , . . . , Xn będzie próbą prostą z rozkładu jednostajnego U (0, a). Czy estymatory
T1 =
n+1
X(n) ,
n
T2 =
n
X(n)
n−1
parametru a są
(a) nieobciążone,
(b) asymptotycznie nieobciążone?
11. Niech X1 , . . . , Xn będzie próbą prostą z rozkładu gamma G(α, λ) o gęstości
f (x) =
λα α−1 −λx
x e
1(0,∞) (x),
Γ(α)
gdzie α jest znane, a λ nie znane. Udowodnij, że jeśli nα > 2, to statystyka
T =
nα − 1
nx̄
jest nieobciążonym i zgodnym estymatorem parametru λ.
2