Ciągi – poziom podstawowy

Ciągi – poziom podstawowy
(dla każdego ciągu przyjmujemy, że n należy do zbioru liczb naturalnych dodatnich N+)
1. Wyznacz pięć pierwszych wyrazów każdego z poniższych ciągów:
n5
3  2 n 1
a) a n  6  32 n , b) bn  n 2  4n , c) c n 
, d) d n 
, e) en  (1) n n  1 .
n3
5
Rozwiązanie:
a) a1  92  4,5 ; a2  3 ; a3  1,5 ; a4  0 ; a5  1,5 . Kolejne wyrazy maleją o półtora; wykresem ciągu
są te punkty prostej o równaniu y   32 x  6 , które mają całkowite dodatnie odcięte.
b) Kolejne wyrazy: (3, 4, 3, 0,  5) . Wykresem tego ciągu są te punkty paraboli
y   x 2  4 x  ( x  2) 2  4 , które mają całkowite dodatnie odcięte.
x5
8

 1,
c) Kolejne wyrazy: (1,  53 ,  13 ,  17 ,0) . Wykresem tego ciągu są te punkty hiperboli y 
x3 x3
które mają całkowite dodatnie odcięte.
d) Kolejne wyrazy: (0,6; 1,2; 2,4; 4,8; 9,6) . Każdy następny wyraz jest dwa razy większy od poprzedniego,
a wzór na n-ty wyraz ciągu można uprościć do postaci: a n  0,3  2 n .
e) Kolejne wyrazy: (0, 3,  2, 5,4) . Wyrazy o numerach nieparzystych maleją o 2, począwszy od zera,
a wyrazy o numerach parzystych rosną o 2, począwszy od 3.
2. Które wyrazy poniższych ciągów są równe zero?
a) a n  5  n
b) bn  (n  4)( n  10)
c) c n  n 2  36
d) d n 
n  20
.
n 1
Rozwiązanie:
a) an  0 , zatem 5  n  0 , co daje n  5 : piąty wyraz tego ciągu jest równy zero.
b) bn  (n  4)(n  10)  0 , zatem n  4 lub n  10 : czwarty i dziesiąty wyraz ciągu bn  ma wartość
zero.
c) c n  n 2  36  0 . Równanie ma dwa rozwiązania n  6 lub n  6 , ale akceptujemy tylko dodatnie:
szósty wyraz ciągu cn  ma wartość zero.
n  20
 0 . „licznik” musi być równy zero, przy równoczesnym „mianowniku” różnym od zera,
c) d n 
n 1
stąd n  20 : dwudziesty wyraz ciągu d n  ma wartość zero.
3. Określ, które wyrazy ciągów z poprzedniego zadania są dodatnie, a które ujemne?
Rozwiązanie:
a) W celu wyznaczenia wyrazów dodatnich należy rozwiązać nierówność: an  5  n  0 , co daje n  5 ,
zatem cztery pierwsze wyrazy ciągu a n  są dodatnie. Wyraz szósty i wszystkie następne są ujemne.
b) W celu wyznaczenia wyrazów dodatnich rozwiązujemy nierówność kwadratową:
bn  (n  4)(n  10)  0 , która jest spełniona dla n  4 lub n  10 (wystarczy naszkicować odpowiednią
parabolę i odczytać rozwiązanie).
Zatem pierwsze trzy, oraz wszystkie kolejne począwszy od 11, wyrazy ciągu bn  są dodatnie.
Natomiast bn  (n  4)(n  10)  0 dla 4  n  10 , co oznacza, że ujemne są wszystkie wyrazy od piątego
do dziewiątego (włącznie).
c) Podobnie j.w. rozwiązujemy nierówność kwadratową: c n  n 2  36  0 , która jest spełniona dla
wszystkich n  6 (lub n  6 , co oczywiście pomijamy). Oznacza to, że dodatnie są wszystkie wyrazy
począwszy od siódmego. Natomiast ujemnych jest pierwszych pięć wyrazów tego ciągu.
n  20
 0 , która jest
d) Aby wyznaczyć wyrazy dodatnie rozwiązujemy nierówność wymierną: d n 
n 1
równoważna nierówności kwadratowej: (n  20)( n  1)  0 , która jest spełniona dla n  1 lub n  20 ,
czyli, uwzględniając, że n jest liczbą naturalną dodatnią: dla n  20 . Zatem dodatnie są wszystkie wyrazy
począwszy od dwudziestego pierwszego.
Analogicznie d n  0 gdy  1  n  20 , co oznacza, że wszystkie wyrazy ciągu d n  od pierwszego do
dziewiętnastego są ujemne.
4. Oblicz wszystkie różnice rn  an1  an dla n  1, 2, 3, 4, jeśli ciąg a n  dany jest wzorem:
1
a) an  3n  1 , b) a n  2 n , c) a n  . Który ciąg a n  nie jest arytmetyczny?
n
Rozwiązanie:
a) r1  a2  a1  5  2  3 . Każda kolejna różnica też wyniesie 3.
b) r1  a2  a1  4  2  2 , r2  a3  a2  8  4  4 , r3  8 , r4  16 . Ten ciąg nie jest arytmetyczny.
c) r1  a2  a1  0,5 , r2  a3  a2   16 , r3   121 , r4   201 . Ten ciąg również nie jest arytmetyczny.
5. Jak wykazać, że dany ciąg jest arytmetyczny? Wykaż, że ciąg an  2n  3 jest ciągiem arytmetycznym.
Rozwiązanie:
Aby wykazać, że ciąg jest arytmetyczny, to (zgodnie z definicją ciągu arytmetycznego) należy wykazać,
że różnica dwóch kolejnych wyrazów tego ciągu jest stała, czyli nie zależy od n. Nie wystarczy wskazać
kolejne różnice jako przykłady, należy to wykazać ogólnie:
an  2n  3 , an1  2(n  1)  3  2n  1 . Zatem rn  an1  an  (2n  1)  (2n  3)  2 . Otrzymaliśmy stałą
różnicę 2, która nie zależy od wartości n, zatem ciąg a n  jest arytmetyczny!
6. Jak wykazać, że dany ciąg nie jest arytmetyczny? Wykaż, że ciąg bn  2n 2  3 nie jest ciągiem
arytmetycznym.
Rozwiązanie:
Aby wykazać, że ciąg nie jest arytmetyczny, wystarczy wskazać dwie różne różnice między kolejnymi
wyrazami tego ciągu: r1  b2  b1  5  1  6 , r2  b3  b2  15  5  10 . Już widać, że ciąg nie ma stałej
różnicy, zatem nie jest arytmetyczny!
7. Wyznacz pierwszy wyraz i różnicę ciągu arytmetycznego, w którym a3  5 , a5  3 .
Rozwiązanie:
a5  a3  2r , stąd r  1 . Teraz a3  a1  2r , z czego wynika, że a1  7 .
8. Wyznacz dwudziesty wyraz ciągu arytmetycznego, w którym a2  3 , a3  1,5 . Oblicz sumę 20
początkowych wyrazów tego ciągu: S 20 .
Rozwiązanie:
a  a20
r  a3  a2  1,5 . a20  a1  19r  a2  18r  3  18  1,5  24 . S 20 1
 20   4,5  24  10  195 .
2
9. Adam spłaca pewną kwotę w 20 ratach. Pierwsza rata wynosi 220 zł, a każda następna jest o 5 złotych
mniejsza. Jaką w sumie kwotę spłaci?
Rozwiązanie:
Chodzi oczywiście o ciąg arytmetyczny, w którym: a1  220 , r  5 , a20  a1  19  r  125 (to ostatnia
220  125
 20  345  10  3450 . Adam ma do zapłacenia 3450 zł.
rata). Wtedy S 20 
2
10. Uzupełnij, aby wszystkie liczby, w podanej kolejności tworzyły ciąg arytmetyczny: _, _, 4, _, _,  32 , _.
Rozwiązanie:
Podane liczby dzielą trzy różnice, stąd 3r   32  4 i r   116 . Oto cały ciąg: 7 23 , 5 56 , 4, 2 16 , 13 ,  32 ,  3 13 .
11. Suma trzech liczb tworzących (w podanej kolejności) ciąg arytmetyczny wynosi 21. Wyznacz te liczby, jeśli
ostatnia z nich jest o 6 większa od pierwszej.
Rozwiązanie:
Oznaczmy te liczby jako a, b, c. Wtedy a  b  c  3b  21, co od razu daje b  7 (korzystam z tego,
że w ciągu arytmetycznym (a, b, c) zachodzi zależność: 2b  a  c ).
Pozostałe dwa wyrazy wyznaczymy dwoma sposobami:
Sposób I:
a  c  14
Mamy teraz dwa warunki: a  c  14 i c  a  6 , czyli układ równań: 
, którego rozwiązaniem
c  a  6
jest para liczb: a  4, c  10 . Otrzymaliśmy liczby 4, 7, 10.
Sposób II (prostszy):
Skoro trzecia liczba jest o 6 większa od pierwszej, to różnica ciągu arytmetycznego wynosi 3.
Stąd: a  7  3  4 , c  7  3  10 .
12. Jak wykazać, że dany ciąg jest geometryczny? Wykaż, że ciąg a n  3 n jest ciągiem geometrycznym.
Rozwiązanie:
Postępujemy analogicznie jak w przypadku ciągu arytmetycznego, ale to iloraz ma być stały (pod
warunkiem, że nie jest to ciąg zer, który też jest geometryczny). Należy zatem wyznaczyć ogólną postać
ilorazu dwóch kolejnych wyrazów i wykazać, że jego wartość jest stała dla każdego n  N  :
a
a n 1  3 n 1  3  3 n , q  n 1  3 dla każdej liczby naturalnej dodatniej n, co dowodzi, że ciąg a n  jest
an
geometryczny.
13. Jak wykazać, że dany ciąg nie jest geometryczny? Wykaż, że ciąg bn  2 n  1 nie jest ciągiem
geometrycznym.
Rozwiązanie:
a
a
5
9
Wystarczy pokazać dwa różne ilorazy kolejnych wyrazów danego ciągu: q1  2  , q 2  3  ,
a1 3
a2 5
q1  q2 . Ciąg bn  nie jest geometryczny, ponieważ nie ma stałego ilorazu.
14. Wyznacz pierwszy wyraz i iloraz ciągu geometrycznego, w którym a2  4 , a4  2 . Podaj wszystkie
możliwości.
Rozwiązanie:
1
a4  a2  q 2 , zatem q 2  , co daje dwa przypadki:
2
1
2
1
2
a) q 
, a wtedy: a1  4 : q  4 2 , b) q  
, a wtedy: a1  4 : q  4 2 .


2
2
2
2
15. Wyznacz dziewiąty wyraz ciągu geometrycznego, w którym a2  32 , a3  16 . Oblicz sumę dziesięciu
początkowych wyrazów tego ciągu: S10 .
Rozwiązanie:
7
a3
1
1
 1
8
7
q
  . Zatem a9  a1  q  a 2  q  32      2 5  (2) 7  2 5  2 7  2  2   0,25 .
4
a2
2
 2
a
1
a1  2  32 :
 64.
q
2
1
1  10
10
10
1 10


1


1 q
6
2
2  2 6  2  1  1023  341  42 5 .
S10  a1 
 64 

2

8
3
1 q
1  12
8
3  29
3  23
2
16. Adam wpłacił na konto 1000 zł. Co miesiąc kwota wzrasta o 1%. Napisz wzór na kwotę uzyskaną po 3
latach. Korzystając z kalkulatora (liczącego dowolne potęgi y x ) oblicz tę kwotę i podaj wynik
z dokładnością do całego złotego.
Rozwiązanie:
Odsetki są kapitalizowane co miesiąc, zatem w ciągu 3 lat nastąpi to 36 razy.
36
Oto ta kwota: K  1  1%   1000  (1,01) 36  1000  1,43077  1000  1430,77  1431 (zł). Przybyło więc
około 43%.
17. Uzupełnij, aby wszystkie liczby, w podanej kolejności, tworzyły ciąg geometryczny: _,
Rozwiązanie:
Zadanie celowo nie jest łatwe od strony rachunkowej.
1
9
, _, _, -27, _
5
 27  19  q 3 , stąd q 3  27  9  35 i q  3  35  33 9  3 3 . Oto ten ciąg w postaci liczb
3
 3 81 1

9 3
, ,
, 3 3 ,  27, 813 9 
z mianownikiem uwolnionym od niewymierności:  
3
 243 9

11
1
4
14

 

albo w postaci potęg trójki:   3 3 , 3  2 ,  3 3 , 3 3 ,  33 , 3 3  . Wyprowadzenie obu postaci należy


potraktować jako ćwiczenie w działaniu na pierwiastkach i potęgach .
18. Iloczyn trzech dodatnich liczb tworzących (w podanej kolejności) ciąg geometryczny wynosi 1000. Ostatnia
z tych liczb jest 4 razy większa od pierwszej. Wyznacz te liczby.
Rozwiązanie: (porównaj z zadaniem 11.)
Oznaczmy te liczby jako a, b, c. Wtedy a  b  c  b 3  1000 , co od razu daje b  10 (korzystam z tego,
że w ciągu geometrycznym (a, b, c) zachodzi zależność: b 2  a  c ).
Pozostałe dwa wyrazy wyznaczymy dwoma sposobami:
Sposób I:
a  c  100
Mamy teraz dwa warunki: a  c  100 i c  4a , czyli układ równań: 
, którego rozwiązaniem
c  4a
są dwie pary liczb: a  5, c  20 oraz a  5, c  20 . Drugi przypadek pomijamy z uwagi na warunki
zadania. Otrzymaliśmy zatem liczby 5, 10, 20.
Sposób II (prostszy):
Skoro trzecia liczba jest 4 razy większa od pierwszej, to iloraz ciągu geometrycznego wynosi 2
(-2 pomijamy). Stąd: a  10 : 2  5 , c  10  2  20 .
19. Wyznacz a i b, tak aby liczby: a, 2, -4, b w podanej kolejności tworzyły ciąg
a) arytmetyczny, b) geometryczny.
Rozwiązanie:
a) Skoro ciąg jest arytmetyczny, to ma on stałą różnicę r  4  2  6 , co daje od razu a  8 i b  10 .
b) Skoro ciąg jest geometryczny, to ma on stały iloraz q  4 : 2  2 , co daje od razu a  1 i b  8 .
20. Wyznacz a i b, jeśli trzy pierwsze liczby (w podanej kolejności) tworzą ciąg arytmetyczny, a ostatnie trzy
(w podanej kolejności) – geometryczny: 4, a, b, 4 .
Rozwiązanie:
Skoro 4, a, b to ciąg arytmetyczny, to 2a  4  b (ze średniej arytmetycznej).
Podobnie, ponieważ a,b, 4 jest ciągiem geometrycznym, więc b 2  4a (ze średniej geometrycznej).
2a  4  b
4a  8  2b
Rozwiązujemy układ równań:  2
.
 2
b

4
a
b

4
a


Po podstawieniu 4a z pierwszego równania do drugiego otrzymujemy równanie kwadratowe:
b 2  8  2b , czyli b 2  2b  8  0 .To równanie ma dwa rozwiązania: b1  2 oraz b2  4 . Odpowiednie
wartości drugiej niewiadomej wynoszą: a1  b12 : 4  1 oraz a2  b22 : 4  4 .
a  1
a  4
Mamy zatem dwa przypadki: 
lub 
.
b  2
b  4
Odpowiednie ciągi: (4,1,  2, 4) , r  3 , q  2 lub (4, 4, 4, 4) , r  0 , q  1 .