Figury - Interkl@sa

Figury płaskie
Możesz kliknąć na odnośnik. Aby wyjść naciśnij Esc
1.Rysowanie
2. Własności figur
3. Obliczanie obwodu figury
4. Obliczanie pól figur płaskich
5. Co to znaczy, że trójkąty są przystające, a figury podobne?
6. Co to jest twierdzenie Pitagorasa?
7. Okręgi wpisane i opisane
8. Czy wiedza o figurach przydaje się w życiu codziennym?
Rysowanie
Najprostsze figury rysuję się linijką. Co więc zrobić, aby
narysować trapez, czy trójkąt równoboczny? Wtedy należy
wykonać rysunek konstrukcyjny. Dwa najbardziej potrzebne
przybory do konstrukcji to linijka i cyrkiel.
Rysowanie trójkąta równobocznego
Dzielenie odcinka na części
Rysowanie symetralnej odcinka
•
Spis treści
Rysowanie trójkąta równobocznego
•
Najpierw rysujemy odcinek.
•
Następnie odmierzamy go i od jego końców cyrklem zaznaczamy 3 wierzchołek trójkąta.
•
W ten sposób narysowaliśmy trójkąt równoboczny o równych kątach i bokach.
•
Spis treści
Dzielenie odcinka na 3, 4, 5, lub
więcej części.
•
Na początku do odcinka który chcemy podzielić dorysowujemy prostą.
•
Następnie za pomocą cyrkla odkładamy dowolnie wiele części.
Teraz przeprowadzamy prostą, przechodzącą przez końce obydwu odcinków, oraz proste
do nich równoległe.
odcinek 1
•
Spis treści
odcinek 2
Rysowanie symetralnej
•
•
Żeby podzielić odcinek na dwie równe części należy skonstruować symetralną.
Najpierw rysujemy odcinek, który chcemy podzielić.
•
Następnie za pomocą cyrkla (od środka) zaznaczamy na odcinku 2 łuki.
•
Teraz ponownie od tych łuków wyznaczamy kolejne dwa np. u góry.
•
Ważne jest to, aby cyrkiel rozsunąć przynajmniej na połowę długości odcinka, tak aby
łuki się przecięły.
•
Spis treści
Własności figur
Każda z figur płaskich posiada swoje charakterystyczne własności.
W kwadracie przekątne przecinają się pod kątem
prostym, czyli 90o.
Prostokąt ma dwie pary równych boków, oraz równe kąty.
W rombie naprzeciwległe kąty są równej miary.
Posiada on również równe boki.
Trapez równoramienny posiada parę boków równoległych,
oraz równe ramiona.
W równoległoboku naprzeciwległe kąty są równej miary.
W trójkącie równobocznym wszystkie kąty mają miarę 60o, oraz równe
boki.
Trójkąt różnoboczny posiada równe kąty i różne boki.
•
Spis treści
Obliczanie obwodu
Obwodem nazywamy sumę długości odcinków będących
bokami wielokąta.
Obwód oblicza się dodając do siebie wszystkie boki wielokąta (oprócz
okręgu).
Obwód koła natomiast liczymy za pomocą wzoru:
O  2r gdzie r to promień.
Oto kilka przykładów:
Wielokąty
Okrąg i Łuk
•
Spis treści
Obliczanie pola
Pole figury to miara powierzchni figury, która jest liczbą nieujemną
przyporządkowaną figurze geometrycznej. Pola figur przystających są sobie równe.
Pole możemy wyliczyć przez pomnożenie przez siebie boku i wysokości (w
przypadku figur takich, jak prostokąt, czy kwadrat).
Oto kilka przykładów:
Wielokąty
Okrąg i Łuk
•
Spis treści
Wielokąty
b
P  ah
Równoległobok
O  2a  2b
a h
P  ah
h
P
d1
d2
a
d1  d 2
2
2
d  d 
a   1   2 
 2  2 
O  4a
2
Romb
d1, d2 – przekątne rombu
b
c
d
h
a
1
a  b   h
2
O  abcd
P
Trapez
b
P
h
a
•
Spis treści
1
a  b  h
2
Trapez równoramienny
a
P  a2 d  a 2
a
d
O  4a
d2
P
2
b
Kwadrat
d – przekątna kwadratu
Prostokąt
d – przekątna prostokąta
P  a b
d
a
c
a
O  2a  2b
d  a b
2
2
1
a b
2
O  abc
P
●
Trójkąt prostokątny
b
1
P  bh
2
O  abc
h
a
a
a2 3
P
4
O  3a
a
•
Spis treści
Trójkąt różnoboczny
Trójkąt równoboczny
Okrąg
i
Łuk
Do obliczenia obwodu, czy pola okręgu niezbędne jest
wartość przyjmuję się około 3,1416
r
P  r 2
O  2r
P
r1
r2
•
Spis treści
 . Za jego
Okrąg
r 2
360
r
Ł
180

  3,1416
P   (r22  r12 )
Wycinek koła
Pierścień
P – pole
Ł – długość łuku
Przystawanie i podobieństwo
O tym, że figury są podobne mówimy wtedy, kiedy każdy z boków został
pomniejszony/powiększony w odpowiedniej skali.
6 cm
3 cm
2,5 cm
5 cm
1
Te trójkąty są podobne w skali 2
Aby trójkąty były do siebie przystające, musi być zachowanych kilka
warunków:
c
β
γ
α
b
•
a
Spis treści
1. Bok – bok – bok
2. Bok – kąt – bok
3. Kąt – bok – kąt
β`
a`
c`
γ`
α`
b`
Twierdzenie Pitagorasa
Za pomocą twierdzenia Pitagorasa w łatwy sposób możemy obliczyć jeden z boków
w trójkącie prostokątnym.
c
a
a
c
●
b
a
●
b
b
●
a2+b2=c2
c
c2+b2=a2
c2+b2=a2
Zapisać więc można, że suma kwadratów dwóch przyprostokątnych równa się
kwadratowi przeciwprostokątnej.
(4cm)2 + (3cm)2 = x2
16cm2 + 9cm2 = x2
X2 = 25cm2
X = 5cm
•
Spis treści
x
4 cm
●
3 cm
Okręgi opisane i wpisane
Okrąg opisany na wielokącie konstruujemy przez wyznaczenie
symetralnych boków wszystkich jego boków. Jeżeli przecinają się one w
jednym punkcie, to jest to środek okręgu opisanego.
Na każdym trójkącie możemy opisać okrąg.
Okrąg wpisany w wielokąt konstruujemy przez wykreślenie wszystkich
dwusiecznych kątów wewnętrznych tego wielokąta. Jeśli przetną się w jednym
punkcie, to jest to środek okręgu wpisanego w wielokąt.
W każdy trójkąt możemy wpisać okrąg.
c
a
b
Aby wpisać okrąg w czworokąt, musi
zostać zachowana zasada:
d+c=b+a
d
Inne figury
•
Spis treści
Inne figury
R
a r
2
a 3
h
3
3
a 3
2
R=
h
h=
1
h = a 3
3
6
r=
a
R=
r
R
r=
d
h - wysokość
1
d
2
1
a
2
d=
a 2
R=
b
2
d - przekątna
b
R
•
r
Spis treści
b - przeciwprostokątna
Trochę z życia codziennego …
Nawet podstawowa wiedza o figurach, może przydać się każdemu.
W łatwy sposób możemy obliczyć pole swojej działki, wielkość dachu, itp..
Przykładowe zadanie cz.1
Popatrz na fragment mapy zamieszczony obok. Zaznaczone na nim poziomnice
pozwalają oszacować, jaka jest różnica poziomów między punktami A i B.
800
B
A
800
800
700
900
Wysokość punktu A to około 750 m n.p.m., wysokość punktu B
to około 1150 m n.p.m.
Można więc obliczyć różnicę wysokości:
1000
1150 m – 750 m = 400 m
Korzystając dodatkowo ze skali, możemy ustalić, jak strome jest zbocze wzdłuż
zaznaczonej linii.
Część druga
•
Spis treści
Przykładowe zadanie cz.2
Odległość między punktami A i B (równa się 4 cm na mapie) odpowiada odległości
między tymi punktami w poziomie, czyli bez uwzględnienia różnicy wysokości.
Różnica poziomów (równa się 400 m) w skali 1 : 20 000 wynosi:
x
2 cm
4 cm
Odległość w poziomie
2
2
2
Rozwiązanie: 4  2  x
Różnica wysokości
400m
2

m  2cm
20000 100
Rysunek obok obrazuje, jak
stromy jest to srok
Obliczymy więc, jak długi jest
stok zaznaczony na mapie.
Przyjmijmy więc,
że
20  4,5
Za pomocą tego możemy obliczyć, że:
x 2  20
x  20
4,5 ∙ 2 = 9 cm = 900 m
Odp.: Zbocze tej góry ma około 900 m długości.
•
Spis treści
Zadanie z podręcznika Matematyka 3 Podręcznik dla Gimnazjum
Gdańskiego Wydawnictwa Oświatowego