1 Indukcja matematyczna, podzielnosc liczb, liczby pierwsze

1
Indukcja matematyczna, podzielność liczb, liczby pierwsze
Zadanie 1. Wykazać, że dla każdej liczby natutalnej n zachodzi równość
n(n+1)
2
1. 1 + 2 + ... + n =
2. 12 + 22 + ... + n2 =
3.
1
1·3
+
1
3·5
+
4.
1
1·2
+
1
2·3
+ ... +
1
5·7
n(n+1)(2n+1)
6
+ ... +
1
(2n−1)·(2n+1)
1
n·(n+1)
=
=
n
2n+1
n
n+1
5. 1 + 5 + 9 + ... + (4n − 3) = n(2n − 1)
6.
1
1·7
+
1
7·13
+
1
13·19
+ ... +
1
(6n−5)·(6n+1)
=
n
6n+1
7. 1 · 1! + 2 · 2! + ... + n · n! = (n + 1)! − 1
Zadanie 2. Wykazać, że dla każdego n ∈ N2 zachodzi równość
22
1
1
(3n + 2)(n − 1)
1
+ 2
+ ... + 2
=
4n(n + 1)
−1 3 −1
n −1
Zadanie 3. Wykazać, że dla każdego n naturalnego,
n5
5
+
n3
3
+
7n
15
jest liczba˛ naturalna.˛
Zadanie 4. Wykazać, że dla każdego n ∈ N2 zachodzi nierówność
√
1. 1 + √1 + √1 + ... + √1n > n
3
2
√
√
2.
2
1
3.
1
n+1
+
+
3
2
+ ... +
1
n+2
√
n
n−1
+ ... +
>
1
3n+1
√
n−1
>1
Zadanie 5. Wykazać, że dla każdej liczby natutalnej n
1. 3|(7n − 1)
2. 3|(n3 + 2n)
3. 9|(4n + 6n − 10)
4. 7|(2n+2 + 32n+1 )
5. 9|(4n2 + 15n − 1)
6. 6|n(n + 1)(2n + 1)
7. 6|(n4 + 2n3 + 2n2 + n)
8. 19|(7 · 52n + 12 · 6n )
9. 30|(n5 − n)
Zadanie 6. Stosujac
˛ własności relacji przystawania modulo m wykazać, że dla każdej liczby natutalnej n
1. 3|(10n + 4n − 2)
2. 133|(122n+1 + 11n+2 )
3. 17|(62n + 19n − 2n+1 )
4. 41|(5 · 72(n+1) + 23n )
Zadanie 7. Wykazać, że różnica sześcianów dwóch kolejnych liczb naturalnych przy dzieleniu przez 6 daje reszt˛e 1.
Zadanie 8. Wykazać, że suma 1 + 2 + ... + n jest podzielna przez n wtedy i tylko wtedy, gdy n jest liczba˛ nieparzysta.˛
Zadanie 9. Ile wynosi reszta z dzielenia
1
(i) 22222 przez 3
(ii) 152222 przez 4
Zadanie 10. Uzasadnić, dlaczego stosujac
˛ sito Eratostenesa w zbiorze {1, 2, ..., n}, wystarczy zakończyć po wykreśleniu
wielokrotności i0 , gdzie i02 ≤ n.
√
Zadanie 11. Wykazać, że jeżeli p jest liczba˛ pierwsza,˛ to p jest liczba˛ niewymierna.˛
Zadanie 12. Wykazać, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych.
Zadanie 13. Wykazać, że jeżeli liczba pierwsza p dzieli 11...1
| {z }, to p = 3.
p
Zadanie 14. Niech p > 5 b˛edzie liczba˛ pierwsza.˛ Wykazać, że p| 11...1
| {z }.
p−1
Zadanie 15. Niech a ∈ Z. Wykazać, że a2 jest postaci 5k, 5k − 1 lub 5k + 1 dla pewnego k ∈ Z.
2
Kombinatoryka
Zadanie 16. Ile liczb pi˛eciocyfrowych można utworzyć z cyfr
(i) 1,2,3,4,5
(ii) 0,1,2,3,4
(iii) 1,2,3,4,5,6
(każdej podanej cyfry można użyć tylko raz)?
Zadanie 17. Ile parzystych liczb trzycyfrowych (o różnych cyfrach) można utworzyć z elementów zbioru {1, 2, 3, 4, 5} ?
Zadanie 18. Na ile sposobów można ustawić na półce 10-tomowe dzieło, jeśli
1. tomy I, II i III maja˛ stać obok siebie , niekoniecznie w takiej kolejności,
2. tomy I i II maja˛ nie stać obok siebie?
Zadanie 19. Ile liczb sześciocyfrowych można utworzyć z cyfr
(i) 1,1,3,3,4,5
(ii) 0,1,1,3,3,4 ?
Zadanie 20. Mała Hania ma 10 koralików: 3 czerwone, 3 niebieskie, 2 żólte i 2 zielone. Ile różnych wzorów może uzyskać
dziewczynka nawlekajac
˛ je na sznurek?
Zadanie 21. Ile sześciocyfrowych liczb nieparzystych można utworzyć z cyfr 1,2,2,3,4,4 ?
Zadanie 22. Ile sześciocyfrowych liczb parzystych można utworzyć z cyfr 1,2,2,3,4,4 ?
Zadanie 23. W ilu permutacjach zbioru {1,2,3,4,5} jedynka stoi przed (niekoniecznie bezpośrednio) dwójka˛ ?
Zadanie 24. Na ile sposobów można przy okragłym
˛
stole posadzić 10 osób, jeśli dwie z nich chca˛ koniecznie siedzieć obok
siebie ?
Zadanie 25. Na ile sposobów można ustawić w rz˛edzie
1. 6 m˛eżczyzn i 5 kobiet
2. 4 m˛eżczyzn i 7 kobiet
tak, aby żaden m˛eżczyzna nie sasiadował
˛
z innym?
Zadanie 26. Z talii 52 kart losujemy 6 kart. Ile jest możliwych wyników, w których wylosujemy dokładnie 3 asy ?
Zadanie 27. Z talii 52 kart losujemy 8 kart. Ile jest możliwych wyników, w których
1. wylosujemy co najmniej 2 asy
2
2. wylosujemy jedna˛ dam˛e i 2 króle
3. nie wylosujemy żadnego asa ?
Zadanie 28. Ile jest czterocyfrowych liczb naturalnych, w których zapisie dziesi˛etnym wyst˛epuja˛ dwie pary różnych cyfr ?
Zadanie 29. Ilu uczniów jest w klasie, jeśli wiadomo, że dwuosobowa˛ "delegacj˛e z kwiatkiem" można wybrać na 300
sposobów ?
Zadanie 30. Na przyj˛eciu spotkało si˛e n osób. Wszyscy znajomi przywitali si˛e podaniem r˛eki. Nastapiło
˛
10 powitań. Ile
osób si˛e spotkało?
Zadanie 31. Ile elementów ma zbiór A, jeżeli zawiera on dokładnie 67 podzbiorów o co najwyżej dwóch elementach?
Zadanie 32. 10 m˛eżczyzn i 10 kobiet dobieramy w pary. Na ile sposobów można to zrobić? Na ile sposobów można to
zrobić, jeżeli każda para ma składać si˛e z kobiety i m˛eżczyzny?
Zadanie 33. Na ile sposobów można rozmieścić n rozróżnialnych kul w n szufladach, jeżeli
(a) wszystkie szuflady maja˛ być zaj˛ete
(b) co najmniej jedna szuflada ma pozostać pusta
(c) dokładnie jedna szuflada ma pozostać pusta
Zadanie 34. Rozmieszczamy losowo 10
(a) ponumerowanych
(b) jednakowych
kul w trzech szufladach. Ile jest możliwych sposobów rozmieszczenia?
Zadanie 35. Rozmieszczamy losowo k
(a) ponumerowanych
(b) jednakowych
kul w n szufladach (n ≥ k). Ile jest możliwych rozmieszczeń, jeżeli każda szuflada może zawierać co najwyżej jedna˛ kul˛e?
Zadanie 36. Dwa przyległe boki prostokata
˛ podzielono na odpowiednio k i l równych cz˛eści i przez punkty podziału
przeprowadzono proste prostopadłe do boków. Otrzymano w ten sposób krat˛e k × l. Iloma sposobami można przejść z
jednego z wierzchołków do przeciwległego, jeżeli długość drogi ma być równa sumie długości dwóch sasiednich
˛
boków?
Zadanie 37. W meczu piłkarskim padł wynik k : l. Ile jest możliwych przebiegów tego meczu?
Zadanie 38. Każda˛ z dwu przyprostokatnych
˛
równoramiennego trójkata
˛ prostokatnego
˛
podzielono na n równych cz˛eści
i przez punkty podziału przeprowadzono proste prostopadłe do przyprostokatnych.
˛
Iloma sposobami można przejść
z wierzchołka kata
˛ prostego do przeciwprostokatnej
˛
w˛edrujac
˛ po kracie, jeżeli długość drogi ma być równa długości
przyprostokatnej?
˛
Zadanie 39. W meczu piłkarskim padło n bramek. Ile jest możliwych przebiegów tego meczu?
3 Zasada szufladkowa Dirichleta
Zadanie 40. Udowodnić, że wśród n + 1 liczb całkowitych zawsze istnieja˛ dwie, których różnica jest podzielna przez n.
Zadanie 41. Udowodnić, że wśród 100 dowolnych liczb całkowitych można wybrać kilka (być może jedna)
˛ kolejnych liczb,
których suma jest podzielna przez 100.
Zadanie 42. Udowodnić, że dla dowolnej liczby naturalnej n istnieje liczba zapisana tylko przy pomocy zer i jedynek,
która jest podzielna przez n.
Zadanie 43. Każde dwa wierzchołki sześciokata
˛ foremnego połaczono
˛
odcinkiem zielonym albo czerwonym. Wykazać,
że został narysowany co najmniej jeden trójkat
˛ o wierzchołkach w wierzchołkach sześciokata
˛ i bokach tego samego koloru.
Zadanie 44. W sali znajduje si˛e 6 osób. Wykazać, że istnieja˛ wśrod nich 3 osoby, z których każde dwie znaja˛ si˛e lub każde
dwie nie znaja˛ si˛e. Zakładamy, że jeśli osoba X zna osob˛e Y, to Y zna X.
Zadanie 45. Wykazać, że
˛ kwadratu 2 × 2 zawsze znajdziemy dwa punkty
√ wśród pi˛eciu punktów wybranych wewnatrz
odległe o nie wi˛ecej niż 2.
3