Trójkąty

Karolina
Szczypta
Spis treści
 Pojęcie
ogólne
 Nazwy boków trójkąta
 Suma miar kątów
 Długość boków trójkąta
 Podział trójkątów ze
względu na kąty
 Podział trójkątów ze
względu na dł. boków
 Wysokości trójkątów
 Środkowa trójkąta
 Ortocentrum
 Istnienie
trójkątów
 Pole trójkąta
 Obwód trójkąta
 Przystawanie trójkątów
 Podobieństwo trójkątów
 Twierdzenie Pitagorasa
 Wysokość trójkąta
prostokątnego
 Trójkąty o katach 90° , 45°,
45°
 Trójkąt o kątach 30°, 60°,
90°
 Trójkąt wpisany w okrąg
 Trójkąt opisany na okręgu
 Ciekawostki o trójkątach
– wielokąt o trzech bokach
(oraz 3 kątach)

Spis treści
Jeden z boków trójkąta
nazywa się podstawą,
a pozostałe – ramionami.

Spis treści
Suma miar kątów trójkąta
jest równa 180°.
180o
Można to odczytać z rysunku
a ll b
a
b
+

Spis treści
+
o
= 180
Każdy bok trójkąta ma długość mniejszą
od sumy długości dwóch pozostałych
boków.
b
c
a
a < b+c

Spis treści
b < a+c
c < a+b
Podział trójkątów
ze względu na kąty:
 ostrokątny
 rozwartokątny
 prostokątny
Trójkąt jest ostrokątny,
jeżeli wszystkie jego kąty
są ostre tzn.,
że mają więcej niż 0º
a mniej niż 90º.
Trójkąt jest
rozwartokątny, jeżeli
jeden z jego kątów
jest rozwarty
tzn., że miara tego kąta
jest większa od 90° i
mniejsza od 180°.
przyprostokątna
Trójkąt jest prostokątny, jeżeli
ma jeden kąt prosty tzn. taki,
którego miara wynosi 90º.

Spis treści
a
c
b
przyprostokątna
Podział trójkątów
ze względu na długość boków:
różnoboczny
równoboczny
równoramienny
Trójkąt jest różnoboczny,
jeżeli wszystkie jego boki mają różne
długości;
c
a
b
Trójkąt jest równoboczny, jeżeli
wszystkie jego boki mają taką samą
długość.
W trójkącie równobocznym wszystkie
kąty są równe i mają po 60º.
  60
α
a
a
α
α
a
o
Trójkąt jest równoramienny,
jeżeli dwa jego boki mają równe długości.
Boki te nazywamy wówczas ramionami
trójkąta.
180° - 2 α
a
a
α

Spis treści
α
b
Każdy trójkąt ma trzy
wysokości.

ostrokątny
 rozwartokątny
 prostokątny

Spis treści
Proste, w których zawierają się wysokości
trójkąta, przecinają się w jednym punkcie.
Punkt ten nazywamy ortocentrum
trójkąta.
h3
h2
h1

Spis treści
Środkowa trójkąta
to odcinek łączący wierzchołek
trójkąta ze środkiem przeciwległego
boku.
a
a
a = ½ |AB|

Spis treści
Tabela określająca istnienie
poszczególnych rodzajów trójkątów:
ostrokątny
prostokątny
rozwartokątny
różnoboczny
+
+
+
równoramienny
+
+
+
równoboczny
+
-
-
rodzaj trójkąta

Spis treści
Pole trójkąta
P = ½ * BC * h2
C
h1
P = ½ * AB * h1
P = ½ * AC * h3
h2
h3
A
B

Spis treści
Obwód trójkąta
Obw = a + b +c
a
b
c

Spis treści
Przystawanie trójkątów
- Cecha BBB (bok, bok, bok)
- Cecha BKB (bok, kąt, bok)
- Cecha KBK (kąt, bok, kąt)
Cecha BBB ( bok, bok, bok)
Jeżeli trzy boki jednego trójkąta są
odpowiednio równe trzem bokom drugiego
trójkąta, to trójkąty są przystające.
a
c
b
a = a1
b = b1
c = c1
a1
c1
b1
Cecha BKB (bok, kąt, bok)
Jeżeli dwa boki jednego trójkąta mają takie
same długości jak odpowiednie boki drugiego
trójkąta i kąty między tymi bokami mają
jednakowe miary, to trójkąty są przystające.
α1
α = α1
b = b1
c = c1
a
α
b2
b
a1
Cecha KBK (kąt, bok, kąt)
Jeżeli bok jednego trójkąta ma taką samą
długość jak bok drugiego trójkąta, a kąty
jednego trójkąta leżące przy tym boku mają
takie same miary jak odpowiednie kąty
drugiego trójkąta, to trójkąty są przystające.
α
c
β

Spis treści
α = α1
c = c1
β = β1
α1
c1
β1
Podobieństwo trójkątów
- Cecha BBB (bok, bok, bok)
- Cecha BKB ( bok, kąt, bok)
- Cecha KKK (kąt, kąt, kąt)
Cecha BBB (bok, bok, bok)
Jeżeli boki jednego trójkąta są proporcjonalne
do odpowiednich boków drugiego trójkąta,
to te trójkąty są podobne.
a’
c
a
c’
b
b’
Cecha BKB
Jeżeli dwa boki jednego trójkąta są
proporcjonalne do dwóch boków drugiego
trójkąta, a kąty między nimi zawarte są
przystające, to trójkąty są podobne.
b’
b
α’
α
a’
a
Cecha KKK
Jeżeli dwa kąty jednego trójkąta mają taką
samą miarę jak dwa kąty drugiego trójkąta
to te trójkąty są podobne.

Spis treści
Twierdzenie Pitagorasa
W trójkącie prostokątnym kwadrat długości
przeciwprostokątnej równy jest sumie
kwadratów długości przyprostokątnych
c2
b2
c2 = a2 + b2
a2

Spis treści
W trójkącie prostokątnym długość
wysokości poprowadzonej z wierzchołka
kąta prostego jest średnią geometryczną
długości odcinków, na które ta wysokość
podzieliła przeciwprostokątną.
h  x y
x
h

Spis treści
y
Trójkąty o kątach 90° , 45°, 45°
45 °
a 2
a
45 °
a
W trójkącie prostokątnym równoramiennym
o przyprostokątnych długości a,
przeciwprostokątna ma długość a 2
a 2 d
d – długość
przekątnej kwadratu
o boku długości a
trójkąt ten jest
połową kwadratu
o boku a

Spis treści
Trójkąt o kątach 30°, 60°, 90°
30°
2a
a√3
60 °
a
2a 3
h
2
ha 3
Trójkąt ten jest połową
trójkąta równobocznego
o boku 2a

Spis treści
Trójkąt wpisany w okrąg
Na każdym trójkącie można
opisać okrąg.
Środkiem okręgu opisanego na
trójkącie jest punkt przecięcia
symetralnych boków tego trójkąta.
Środek okręgu
opisanego na trójkącie leży:

w trójkącie prostokątnym,
w połowie przeciwprostokątnej,

w trójkącie ostrokątnym,
wewnątrz trójkąta,

w trójkącie rozwartokątnym,
poza trójkątem.
.
.
.
Promień okręgu opisanego na trójkącie
2
R h
3

Spis treści
Trójkąt opisany na okręgu
W każdy trójkąt można wpisać okrąg.
Środkiem okręgu wpisanego w trójkąt
jest punkt przecięcia dwusiecznych
kątów tego trójkąta.
Promień okręgu wpisanego w trójkąt
1
r h
3

Spis treści
Ciekawostki
o
trójkątach
Trójkąt pitagorejski
- to trójkąt prostokątny, którego długości
boków są wyrażone liczbami naturalnymi.
Przykłady trójkątów pitagorejskich: (3,4,5),
(5,12,13), (7,24,25).
Trójkąt o bokach 3, 4, 5 to jedyny trójkąt
prostokątny, którego długości boków są
kolejnymi liczbami naturalnymi.
Nazywa się go trójkątem egipskim,
ponieważ był używany przez Egipcjan do
wyznaczania kąta prostego w terenie.
Trójkąt Pascala
to trójkątna tablica,
której pierwszy wiersz stanowi liczba 1,
a każdy następny powstaje w ten sposób,
że pod każdymi dwoma sąsiednimi wyrazami
poprzedniego wiersza wpisuje się ich sumę,
a na początku i na końcu każdego nowego
wiersza dopisuje się jedynki.
Liczby widniejące w n+1 wierszu trójkąta są
współczynnikami rozwinięcia n-tej potęgi
dwumianu. W czwartym wierszu, na przykład,
stoją: 1, 3, 3, 1, a trzecia potęga, czyli
sześcian dwumianu, dany jest wzorem:
(a+b)3= a 3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Trójkąt Pascala
Wzór,
który pozwoli nam znaleźć 3 całkowite
liczby, które mogą być długościami boków
trójkąta prostokątnego.
n - dowolna liczba całkowita
a = 2n + 1,
b = 2n (n+1),
c = 2n²+ 2n +1

Spis treści
Źródła, które użyłam:
Szczepan Jeleński, „Śladami Pitagorasa’’
wikipedia.pl
www.math.edu.pl
www.matematykam.pl
matematyka.opracowania.pl
http://matma.eu
http://www.matmana6.pl
Matematyka z plusem. Podręcznik dla klas 1, 2
gimnazjum.
Oraz rady p. B. Łuczywo i p. E. Nowakowskiej
(za co bardzo dziękuję
)

Spis treści
Dziękuję za uwagę !

Spis treści