liga zadaniowa rozwiązania zadań z kwietnia

LIGA ZADANIOWA
ROZWIĄZANIA ZADAŃ Z KWIETNIA
Zad. 1.
Jan III Sobieski wstąpił na tron Polski mając więcej niż 43 lata i panował trzecią część swego
życia. Wiedząc, że nie dożył on swoich 69 urodzin, podaj ile lat panował i ile lat żył
Jan III Sobieski. Odpowiedź uzasadnij.
Zad. 2.
Czy wśród dwunastu kolejnych liczb naturalnych nie mniejszych niż 4 może być pięć liczb
pierwszych? Odpowiedź uzasadnij.
Zad. 3.
Dwa okręgi styczne zewnętrznie są również styczne wewnętrznie do trzeciego okręgu
o promieniu 5 cm. Oblicz obwód trójkąta wyznaczonego przez środki tych trzech okręgów.
Odpowiedzi:
Zad. 1.
Jan III Sobieski panował na pewno dłużej niź 43/2=21,5 lat i mniej niż 69/3=23 lata. Stąd żył on
dłużej niż 43+21,5=64,5 lat a krócej niż 69 lat. Jeśli będziemy chcieli uzyskać odpowiedź
wśród liczb całkowitych to jedyną odpowiedzią spełniającą warunki zadania jest 66 lat życia i
66
/3=22 lata panowania.
Zad. 2.
Liczbami pierwszymi mogą być tylko liczby nieparzyste, ponieważ 2 jako jedyna liczba
pierwsza nie jest brana pod uwagę. Liczb nieparzystych jest wśród kolejnych 12 liczb
naturalnych 6. Spośród tych kolejnych sześciu liczb nieparzystych dwie są podzielne przez 3 i
nie są pierwsze, ponieważ liczbę 3 wykluczyliśmy. Zostało nam tylko 4 liczby nieparzyste,
stąd wśród kolejnych 12 liczb naturalnych nie mniejszych niż 4 nie może znajdować się pięć
liczb pierwszych.
Zad. 3.
Oznaczmy promienie dwóch okręgów
stycznych zewnętrznie jako r i R.
Obwód trójkąta ABS wyznaczonego
przez środki okręgów jest równy
|AB|+|BS|+|SA|=
(r+R)+(R+(5-2R))+((5-2r)+r)=10 cm.