Załącznik nr 7 - Zespół Szkół Chemicznych i Przemysłu Spożywczego

Załącznik nr 7
Zespół Szkół Chemicznych i Przemysłu Spożywczego w Lublinie- Listopad 2010
Opracowały: mgr Anna Kawęcka, mgr Edyta Machoń
Zadania na dowodzenie – poziom podstawowy
Zad.1.
Udowodnij, że jeżeli środek okręgu opisanego na trójkącie leży na jednym z jego boków, to
trójkąt ten jest prostokątny.
Zad.2
Dany jest prostokąt ABCD. Okręgi o średnicach AB i AD przecinają się w punktach A i P
(zobacz rysunek). Wykaż, że punkty B, P i D leżą na jednej prostej.
Zad.3
Uzasadnij, że jeśli (a2+b2)(c2+d2)=(ac + bd)2, to ad = bc
Zad.4
Iloczyn dwóch liczb całkowitych dodatnich różniących się o 3 jest mniejszy
od 180. Wykaż rozwiązując odpowiednią nierówność kwadratową, że jest 11 par
liczb o tej własności.
Zad.5
Wykaż, że jeśli a>0, to
Zad.6
Dane są trzy kolejne wyrazy ciągu (a+x)2 , a 2 +x 2 , (a-x)2 Wykaż , że jest to ciąg
arytmetyczny.
1
Zad.7
Zad.8
Wykaż, że liczba 354 jest rozwiązaniem równania 24311- 8114 +7x = 927.
Zad.9
Wykaż, że prawdziwa jest nierówność
+
Zad.10
Uzasadnij, że dla każdego
prawdą jest, że: (1+sin
Zad.11
Wykaż, że dla każdego m ciąg
jest arytmetyczny.
Zad.12
Uzasadnij, że nie istnieje trójkąt prostokątny, w którym przeciwprostokątna ma długość 24, a
kąty ostre
β są takie, że
i
.
Zad.13
Trójkąty prostokątne równoramienne ABC i CDE są położone tak, jak na poniższym rysunku
(w obu trójkątach kąt przy wierzchołku C jest prosty). Wykaż, że
.
C
E
D
B
A
Zad. 14
Na boku BC trójkąta ABC wybrano punkt D, tak aby
zawiera się w dwusiecznej kąta DAB. Udowodnij, że
C
D
E
A
B
2
. Odcinek AE
.
Zad.15
Punkt D należy do boku BC trójkąta równoramiennego ABC, w którym
.
Odcinek AD dzieli trójkąt ABC na dwa trójkąty równoramienne w taki sposób, że
. Udowodnij, że
oraz
C
D
B
A
Zad.16
Na poniższym rysunku przedstawiono równoramienny trójkąt ABC (o podstawie AC) oraz
prostokątny równoramienny trójkąt BDC (o podstawie BC). Uzasadnij, że
.
C
A
B
D
Zad.17
Punkt E należy do ramienia BC trapezu ABCD, w którym
Udowodnij, że
.
.
D
C
E
B
A
Zad.18
Trójkąty ABC i CDE są równoboczne. Punkty A, C i E należą do jednej prostej. Punkty K, L
i M są środkami odcinków AC, CE i BD. Wykaż, że punkty K, L i M są wierzchołkami
trójkąta równobocznego.
D
B
A
C
E
3
Zad. 19
Na zewnątrz kwadratu ABCD na bokach AB i BC zbudowano trójkąty równoboczne AEB
i BFC. Uzasadnij, że trójkąt DEF jest równoboczny.
D
C
F
A
B
E
Zad.20
Wykaż, że liczba
jest naturalna.
Zad.21
Wykaż, że
=1
Zad.22
Wykaż, że
, gdy x, y, z są długościami boków dowolnego
trójkąta.
Zad.23
Wykaż, że liczba
jest wymierna.
Zad.24.
Wykaż, że jeżeli
m4
3 2
in2
3 5
, to n  8 m .
Zad.25
Wykaż, że:
a)
38  12 10  2 5  3 2
b) 188  48 15  6 3  4 5
Zad.26
Wykaż, że liczba 23 6  15 6 jest podzielna przez 19.
Zad.27
Wykaż, że liczba 3  3 2  33  ...399  3100 jest podzielna przez 4.
4
Zad.28
Wykaż, że suma
1
1
jest większa od 1.

log 3 5 log 2 5
Zad.29
Wykaż, że liczby 2 i -5 są dwukrotnymi pierwiastkami wielomianu
W ( x)  x 4  6 x 3  11x 2  60 x  100
Zad.30
Wykaż, że dla dowolnych dodatnich liczb x i y spełniona jest nierówność
x y
 2
y x
Zad.31
Wykaż, że dla dowolnej funkcji f określonej wzorem f ( x)  2( x 2 
1
1
)  5( x  ),
2
x
x
1
gdzie x  0 , spełniony jest warunek f ( x)  f ( ) .
x
Zad.32
Uzasadnij, że istnieje wyraz ciągu określonego wzorem a n 
2n  1
, który ma wartość
2n  1
ujemną.
Zad.33
W trójkącie prostokątnym ABC z wierzchołka kąta prostego C poprowadzono wysokość
CD . Wykaż, że trójkąty ABC i ADC i CDB są podobne.
Zad.34
Na okręgu o promieniu r opisano romb, którego jeden z kątów wewnętrznych ma miarę 150 o
a) Wykaż, że długości: krótszej przekątnej d1 , boku a rombu i dłuższej przekątnej d 2 są
kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego.
b) Oblicz stosunek pola P1 rombu do pola P2 kola wpisanego w ten romb.
5