6) Trygonometria

6) Trygonometria
a) wykorzystuję definicję
i wyznaczam wartości funkcji
trygonometrycznych dla kątów
ostrych.
6.a.1. Zbuduj kąt ostry a wiedząc, że
1
2
a) sin a =
b) cos a =
c) tg a = 3
3
3
6.a.2. Wyznacz wartości funkcji trygonometrycznych kątów
 a i  w trójkącie na rysunku.


8
b
10
6.a.3. Oblicz wartości wyrażenia:
a) 2 sin a – tg2 b , gdzie a = 450, b = 600.
b) (sin a – cos a)2 + sin 2a, dla a= 300.
c) (sin a + cos a)(cos a – sin a) – cos 2a, dla a = 300.
6.a.4. Oblicz długość przeciwprostokątnej, wiedząc, że cos a = 0,84. Wynik podaj
z dokładnością do części setnych.
a
a
7
6.a.5. Wyznacz wartości funkcji trygonometrycznych kątów ostrych trójkąta
prostokątnego, w którym jedna przyprostokątna jest dwa razy dłuższa od drugiej
przyprostokątnej.
 1

 cos    tg .
6.a.6. Na podstawie rysunku oblicz wartość wyrażenia 
 tg

13
5


6.a.7. Wiadomo, że sin   cos 27 0 i  jest kątem ostrym. Ile jest równy kąt  ?
A) 270
B) 1530
C) 630
D) 330
6.a.8 Sinus kąta ostrego α jest równy . Wynika stąd, że
A) cosα =
B) tgα = 0,75
C) tgα = 1,25
D) cosα =
6.a.9. Między godziną 710 a 850 wskazówka minutowa zegara obróciła się o kąt,
którego miara wynosi:
A) -240°
B) -180°
C) -600°
D) 600°
6.a.10. Wartość wyrażenia sin 30° + sin 60° wynosi:
A)
b) rozwiązuję równania typu
sin x = a, cos = a,
tg x = a; dla 00<x<900.
c) stosuję proste związki między
funkcjami trygonometrycznymi
kata ostrego.
B)
C)
D)
6.b.1.Wiedząc, że x jest kątem ostrym, rozwiąż równanie:
a) 2sin x = 1
b) 2 cos x = 1
c) 3 tg a = 3
6.b.2. Kolejka prowadząca na szczyt Gubałówki pokonuje na drodze długości 1340 m
różnicę wzniesień ok. 300m. Zakładając, że kolejka porusza się wzdłuż linii prostej
oblicz, pod jakim kątem wznoszą się tory kolejki.
6.c.1. Podaj dokładne wartości kąta ostrego a .
3
a)
tg a - sin a = 0 ;
b) 8 sin 2   2 2 cos 2  ;
c) cos   3 sin  .
2
6.c.2. Czy istnieje taki kąt ostry a, dla którego:
2
1
5
a) sina =
i
cos a=
b) sina =
i
3
3
13
tg a =
5
?
12
6.c.3. Wykaż, że wartość wyrażenia
W = (sina – cos a)2 + (sin a +cos a)2 jest stała dla każdego kąta ostrego a.
6.c.4. Sprawdź, czy podana równość jest tożsamością.
a) (1+cosa)(1-cosa) = sin2a
1
1
2
cos a


b) tg a
+1 = 2 (sin2a +cos2a)
c)
sin a
1  cos  1  cos  sin 2 
6.c.5. Czy istnieje trójkąt prostokątny o kątach ostrych  i  spełniający warunki?
a) sin  
d) znając wartości jednej funkcji
trygonometrycznej wyznaczam
wartości pozostałych funkcji tego
samego kąta.
Łączę umiejętności
1
1
i cos  
2
2
6.d.1. Dany jest sin  =
kąta ostrego  .
b) sin  
3
i tg  1
2
3
. Oblicz wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych
7
6.d.2. Dany jest tg  = 4. Oblicz wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych
kąta ostrego  .
6.1. Obserwator widzi czubek drzewa odległego o 65 m pod kątem a=290 (oczy ma na
wysokości 1,5 m nad ziemią). Jaką wysokość ma drzewo?
6.2. Jaki kąt z powierzchnią ziemi tworzy promień słoneczny, jeśli drzewo o wysokości
20m rzuca cień długości 17m?
6.3. Dwaj obserwatorzy stojący w punktach A i B w odległości 200m od siebie widzą
nadlatujący samolot pod kątami a=250 i b=150.
Na jakiej wysokości jest ten samolot?
a
b
B
A
6.4. W trójkącie prostokątnym jedna z przyprostokątnych stanowi 40%
przeciwprostokątnej. Wyznacz kąty tego trójkąta z dokładnością do 10.