Wykład 10: Wartość oczekiwana, wariancja, kwan

Rachunek prawdopodobieństwa MAP1064
Wydział Elektroniki, rok akad. 2008/09, sem. letni
Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz
Wykład 10: Wartość oczekiwana, wariancja, kwantyle rzędu q. Standaryzacja rozkładu normalnego.
Wartość oczekiwana (in. wartość średnia)
EX =
Z∞
 P

xn p n ,



 n∈T
xdF (x) =

R∞




−∞
gdy X ma rozkład dyskretny
zadany ciągiem {(xn , pn ), n ∈ T};
xf (x)dx, gdy X ma rozkład ciągły o gęstości f (x).
−∞
Wartość oczekiwana istnieje, gdy całka (szereg) jest zbieżna.
Przykłady:
Rozkład Bernoulliego: Dla X o rozkładzie B(n, p) mamy
n
X
n
X
n k
n − 1 k−1
EX =
k
p (1 − p)n−k = np
p (1 − p)n−1−(k−1) =
k
k
−
1
k=0
k=1
= np
n−1
X
l=0
!
!
!
n−1 l
p (1 − p)n−1−l = np(p + 1 − p)n−1 = np.
l
Rozkład wykładniczy: Dla X o rozkładzie Exp(λ) mamy
EX =
Z∞
0
∞
xλe
−λx
1
1
1 Z 2−1 −t
t e dt = · Γ(2) = .
dx =
λ
λ
λ
0
Kwantyle rzędu q, 0 < q < 1.
Mediana (in. wartość środkowa), kwartyle.
Kwantyl rzędu q to taki punkt xq , dla którego
F (xq ) ¬ q ¬ lim F (x).
x→xq +
Jeśli dystrybuanta jest funkcją ciągłą, to warunek ten upraszcza się do
F (xq ) = q.
Mediana to x0,5 , kwantyl rzędu q = 0, 5.
Kwartyle to x0,25 i x0,75 , kwantyle rzędu q = 0, 25 i q = 0, 75.
Zarówno mediana jak wartość oczekiwana są miarami położenia
rozkładu zmiennej losowej X.
1
Wariancja (in. dyspersja)
D2 X = EX 2 − (EX)2 = E(X − EX)2
Inne oznaczenie: VarX.
Można pokazać, że
Z∞
2
DX=
x2 dF (x) − (EX)2 =
−∞
=
 X 2
xn p n





n∈T


− (EX)2 ,
Z∞





x2 f (x)dx − (EX)2 ,


gdy X ma rozkład dyskretny
zadany ciągiem {(xn , pn ), n ∈ T};
gdy X ma rozkład ciągły o gęstości f (x).
−∞
Inaczej,
2
DX=
Z∞
(x − EX)2 dF (x) =
−∞
=
 X
(xn





n∈T


2
− EX) pn ,
Z∞





(x − EX)2 f (x)dx,


gdy X ma rozkład dyskretny
zadany ciągiem {(xn , pn ), n ∈ T};
gdy X ma rozkład ciągły o gęstości f (x).
−∞
Wariancja istnieje, gdy całka (szereg) jest zbieżna.
√
DX = D2 X to odchylenie standardowe.
Wariancja i odchylenie standardowe są miarami rozproszenia rozkładu X.
Fakt:
(a) Zawsze D2 X ­ 0.
(b) D2 X = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy P (X = EX) = 1 tzn. gdy X przyjmuje tylko
jedną wartość (identyczną wtedy z wartością oczekiwaną). Taka zmienna losowa
(taki rozkład) nazywana jest zdegenerowaną.
Moment rzędu r > 0, moment centralny rzędu r > 0
EX r , E|X − EX|r , określone wtedy, gdy zbieżne są odpowiednie całki, szeregi.
(Wariancja X to moment centralny rzędu 2.)
Przykłady do zad. 9.1 - 9.2
2
Wartość oczekiwana transformacji zmiennej losowej X:
EY = Eg(X) =
Z∞
g(x)dF (x) =
−∞
 X
g(xn )pn ,





n∈T


Z∞







gdy X ma rozkład dyskretny
zadany ciągiem {(xn , pn ), n ∈ T};
g(x)f (x)dx, gdy X ma rozkład ciągły o gęstości f (x).
−∞
o ile całka (szereg) zbieżna.
Wniosek:
Jeśli istnieje EX, to
E(aX + b) = aEX + b
oraz jeśli istnieje D2 X, to
D2 (aX + b) = a2 D2 X.
Dowód: D2 (aX + b) = E(aX + b − (aEX + b))2 = a2 E(X − EX)2 = a2 D2 X.
Przykłady do zad. 9.3
Rozkład normalny z parametrami m ∈ R i σ > 0
w skrócie N (m, σ).
2
1 − (x−m)
Jest to rozkład o gęstości f (x) = √
e 2σ2 .
2πσ
Jeżeli X ma rozkład N (m, σ), to EX = m oraz D2 X = σ 2 .
X −m
ma rozkład N (0, 1),
• Jeśli X ma rozkład N (m, σ), to
σ
zwany standardowym rozkładem normalnym.
• Dystrybuantę rozkładu N (0, 1) oznaczamy zwykle Φ(x).
Wartości Φ(x) dla 0 ¬ x ¬ 4, 417 znajdują się w tablicach,
dla większych x wartość Φ(x) to prawie 1.
Natomiast dla x < 0 stosujemy wzór Φ(−x) = 1 − Φ(x).
Carl Gauss (1777-1855), Niemiec, zastosował ten rozkład do losowych błędów.
Wcześniej rozkład był wprowadzony przez A. de Moivre’a w 1733 r.
Nazwa „normalny” wprowadzona przez H. Poincarè.
Przykłady do zad. 9.4
3