Lista 12 - Twierdzenie Lagrange`a 1. Przedstaw w postaci sumy

Lista 12 - Twierdzenie Lagrange’a
1. Przedstaw w postaci sumy czterech kwadratów liczb naturalnych liczby:
a) 19; b) 21; c) 399; d) 399399.
2. Na ile sposobów mozna przedstawić w postaci sumy dwu kwadratów liczbę 2550?
3. Znajdź najmniejszą liczbę naturalną k > 1 taką, że dla pewnego naturalnego n
12 + 22 + . . . + n2 = k 2 .
4. Pokaż, że liczby postaci 8k + 7; nie da się przedstawić w postaci sumy trzech
kwadratów.
5. Przedstaw liczbę 454 w postaci sumy ośmiu sześcianów. Przypuszcza się, że każdą
większą od niej można przedstawić w postaci 7 sześcianów.
6. Zgodnie z twierdzeniem Waringa-Hilberta dla każdej liczby naturalnej k istnieje
liczba g(k) taka, że dowolna liczba naturalna da się przedstawić w postaci g(k)
k-tych potęg. Pokaż, że:
a) g(2) = 4;
b) g(3) ­ 9;
c)* g(k) ­ [(3/2)k ] + 2k − 2.
7. Przedstaw w postaci sumy trzech liczb trójkątnych (wliczając w to zero):
a) 100; b) 1000.
8. Każda liczba naturalna jest sumą trzech liczb trójkątnych (Gauss 1796), jest też
sumą czterech kwadratów (Lagrange 1770). Jak brzmi kolejne z serii pokrewnych
twierdzeń? Podaj sens użytych terminów.
9. * Wywnioskuj twierdzenie Lagrange’e o sumie czterech kwadratów z twierdzenia
Gaussa o sumie liczb trójkątnych.
10. * Wykaż, że dla dowolnego n liczba n lub 2n daje się przedstawić w postaci sumy
trzech kwadratów.
Wsk.: Liczba naturalna daje się przedstawić w postaci sumy trzech kwadratów
wtedy i tylko wtedy, gdy nie jest postaci 4m (8k + 7). Dowód w jedną stronę jest
trudny.