Np. Ciąg arytmetyczny

Ciągiem liczbowym skończonym, nazywamy dowolną funkcję o wartościach
rzeczywistych, której dziedziną jest zbiór {1, 2, . . . , k} dla pewnego k∈N.
Nieskończony to cały zbiór liczb naturalnych.
Np.
Monotoniczność
• Ciąg a jest rosnący jeśli spełniony jest warunek:
n < k => an < ak
dla dowolnych liczb naturalnych n, k.
Np. 1,2,3,4,5
• Ciąg a jest malejący jeśli spełniony jest warunek:
n < k => an > ak
dla dowolnych liczb naturalnych n, k.
Np. 6,5,4,3,2
• Ciąg a jest stały jeśli wszystkie jego wyrazy są sobie równe.
Np. 2,2,2,2,2
Ograniczoność
Mówimy ze ciąg a jest ograniczony jeśli istnieje taka liczba rzeczywista M, ze
jest spełniony warunek:
|an| ≤ M
dla każdego n naturalnego.
Np.
Ciąg arytmetyczny jest to ciąg, w którym każdy (poza pierwszym) wyraz
powstaje poprzez dodanie stałej, ustalonej liczby r do wyrazu poprzedniego:
+𝒓
+𝒓
+𝒓
a1→ a2→ a3→ . . .
Liczbę r nazywamy wtedy różnicą ciągu arytmetycznego.
Np.
-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,...
Różnica tego ciągu arytmetycznego jest równa 1.
Pierwszy wyraz ciągu jest równy -3.
Ciąg geometryczny jest to ciąg, w którym każdy (poza pierwszym) wyraz
powstaje poprzez pomnożenie przez pewna stałej, ustalona liczbę q wyrazu
poprzedniego:
∙𝒒
∙𝒒
∙𝒒
a1→a2→a3→. . .
Liczbę q nazywamy wtedy ilorazem ciągu geometrycznego.
Np.
1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128,...
Iloraz tego ciągu geometrycznego jest równy 2.
Pierwszy wyraz ciągu jest równy 1.
Liczbę rzeczywistą g nazywamy granicą ciągu a gdy spełniony jest warunek:
∀𝜺>𝟎 ∃𝒏𝟎∈𝑵 ∀𝒏>𝒏𝟎 |𝒂𝒏 − 𝒈| < 𝜺
Granice ciągu a oznaczamy często przez lim 𝑎𝑛 lub lim 𝑎n.
𝑛→∞
Np.
Pokażemy, że granicą ciągu
jest g = 0. Niech będzie dana jakaś liczba ε >
0. Musimy tak dobrać M, aby dla n > M zachodziła nierówność
Granicą ciągu stałego:
jest liczba a:
(2)
Za M weźmy liczbę naturalną większą niż . Mamy więc:
dla dowolnego n > M zachodzi nierówność
co należało pokazać.
, a to znaczy, że
O trzech ciągach. Niech dane będą trzy ciągi (an), (bn), (cn). Jeśli dla prawie
wszystkich n zachodzi nierówność: (an)≤(bn)≤(cn) oraz jeśli
𝑛→∞
(an)→
𝑛→∞
g, (cn) →
𝑛→∞
g to (bn) →
g.
Np.
Ciąg Cauchy’ego
Ciąg (𝑎𝑛 )𝑛∈𝑁 nazywamy ciągiem Cauchy’ego gdy
∀𝜺>𝟎 ∃𝑵∈𝑵 ∀𝒎,𝒏>𝑵 |𝒂𝒎 − 𝒂𝒏 | < 𝜺
Np.
ciąg
ma on granicę równą 3.