x(t)

Prądy i napięcia
sinusoidalnie zmienne
Prądy i napięcia – rodzaje
zmienności
Prądy i napięcia – rodzaje
zmienności cd
Prąd sinusoidalnie zmienny
• B=const
 m  Bld
d
e

dt
d [ m cos t ]


dt
Em sin t
Wielkości charakteryzujące
przebiegi
sinusoidalne
x(t )  X m sin( t   x )
x(t )
Xm
x
Przebiegi przesunięte o kąt:   1   2
1,5
x1(t),x2(t)
1,0
x1 (t )  X m1 sin t  1 
0,5
0,0
t
-0,5
1  0
x2 (t )  X m 2 sin t   2 
-1,0
-1,5
-0,005
2  0
0,000
1  2
0,005
0,010
0,015
0,020
  1  2  0
W przeciwfazie
1,5
x1(t),x2(t)
x1 (t )  X m1 sin t  1 
1,0
x2 (t )  X m 2 sin t   2 
0,5
t
0,0
-0,5
-1,0
-1,5
-0,005
0,000
0,005
0,010
0,015
0,020
T  0.02 s
2
rd
  10 2
T
s
  1   2  180
  2 f 
Wektory a sinusoida
u (t )  U m sin(t   u )
u
u
u (to )  uo
Związek między wykresem wektorowym a czasowym
A – wykres wektorowy
B – wykres czasowy
A
B
i1 (t )  I m1 sin(  t  i1 )
i2 (t )  I m 2 sin(t   i2 )
i
i
1
2
i
1
i
2
Dodawanie sinusoid
x(t),x1(t),x2(t)
x(t )  X m sin t  
1,5

z
x1 (t )  X m1 sin t  1 
1,0
Xm2
0,5
x2(t=0)
y
0,0
Xm
-0,5
x(t=0)
x1(t=0)
Xm1
-1,0
-1,5
-0,005
2
0,000
0,005

1
0,010
0,015
0,020
t
x2 (t )  X m 2 sin t   2 
2
1
1
X m1
X m1 cos 1  X m 2 cos  2

Xm
X m1 sin 1  X m 2 sin  2
X m2
x(t)=Xm sin(wt+f
sin(w t+f
y(t)=Ym sin(w
t+f
sin(wt+f
f
x
y
)
)
y
f
fx
x
t
Wartość skuteczna
1
X sk 
T
t0 T
2
x
 t dt
xt   X max sin  t   x 
t0
Dla funkcji sinus
zachodzi:
X sk
X max

2
Wartość skuteczna wyprowadzenie
zależności
• Powszechnie
stosowana miara
wielkości
sinusoidalnej
• Oznaczenia:
x(t )  X sk , X
u (t )  U sk , U
i (t )  I sk , I
Wyprowadzenie zależności:
xt   X max sin  t   x 
1
X sk 
T
X sk 
1
T
t0 T
2
x
 t dt
t0
t0  T

X m 2 sin 2 t   x dt
t0
1
sin  1  cos 2 x 
2
2
t0 T

X m 2 sin 2 t   x dt 
t0
t0 T
Xm
2

t0
1
1  cos  2t  2 x   dt 

2
t T
1 2
1 20
X m T  X m  cos  2t  2 x  dt
2
2
t0
Xm
1 1 2
X  X SK   X m  T 
T 2
2
Wartość średnia
Wartość średnia przebiegu czasowego może być definiowana na dwa sposoby:
1. Wartość średnia za okres (zwana również wartością całookresową):
X sr 
T  to

x(t )dt
to
gdzie: T - okres przebiegu, t0 - czas początkowy, x(t) - wartości chwilowe przebiegu, t - czas.
Wartość średnia (2)
Wartość średnia z wartości bezwzględnej, zwana
również wartością półokresową:
X0 
T  to

to
x(t ) dt
REZYSTOR idealny(liniowy)
• Zależności podstawowe:
i (t )  I m sin(t   i )
u ( t )  i( t ) R
u (t )  U m sin( t  u ) 
 RI m sin( t  i )
• stąd:
U m  RI m  u   i
R
I
U
U
I
u  i
UWAGA:
Prąd i napięcie opornika są w fazie,
tzn. nie ma przesunięcia fazowego między nimi !!!!!!!!!!!!
CEWKA idealna (liniowa)
i (t )  I m sin(t   i )
di
uL
dt

u (t )  LI m cos(t   i )  U m sin(t   i  )
2
U m  LI m
  u  i 

2
u  i 

2
L
I
U
U
u  i   
u
i
I
UWAGA:

Prąd cewki opóźnia się względem napięcia o 2
!!!!!!!!!!!!

2
Kondensator idealny liniowy
u (t )  U m sin(t   u )
duc (t )
ic (t )  C
dt

ic (t )  CU m cos(t   u )  CU m sin(t   u  )
2
I m  CU m  i   u 

2
 

2
C
I
I
U
u  i    
i
u
U
UWAGA:
Prąd kondensatora wyprzedza napięcie o kąt
!!!!!!!!!!!!

2

2
Połączenie RL
i
R
L
uR
uL
i (t )  I m sin(t   i )
u
u t   u R  u L 
 R I m sin( t   i )   LI m sin( t   i 
 R   L  I m sin( t  i   )
2
2
Um
u

2
)
gdzie
  u  i  arc tg
L
R
Takiemu połączeniu odpowiada trójkąt impedancji:
Z  R 2   L 
2
X  L

R
R - rezystancja
X – reaktancja indukcyjna
Z – impedancja (moduł impedancji)
i
R
L
Takiemu połączeniu odpowiada wykres wskazowy:
U
UL
UR
i
 0
Połączenie RC
i
R
C
uR
uC
i (t )  I m sin(t   i )
u t   u R  uC 
 R I m sin( t  i ) 
1

I m sin( t  i  ) 
C
2
2

 1 
 I m sin  t  i   
R 2  
C 
Um
u
1
C
gdzie   arc tg
R

Takiemu połączeniu odpowiada trójkąt impedancji:
R

 1 

Z  R  
C 
2
2
1
X 
C
 0
R - rezystancja
X – reaktancja pojemnościowa
Z – impedancja (moduł impedancji)
i
R
C
Takiemu połączeniu odpowiada wykres wskazowy:
i
uR
u
uC
 0
Połączenie R L C
i
R
uR
L
uL
C
uC
u
Przyjmijmy, że
i (t )  I m sin(t   i )
u R  I m R sin  t   i 


u L  I m  L sin   t   i  
2

1


uC  I m
sin   t   i  
C 
2
u  u R  u L  uC 
2
 Im

1 
 sin  t  i   
R    L 
C 

2
u
Z
Um
1
L
C
  arc tg
R
Takiemu połączeniu odpowiada trójkąt impedancji:
XC  
1
C
XC  
1
C
XL   L
XL   L
XC  
1
C
XL   L
R
R
L
  arc tg
R
R
1
C
L
 0   arc tg
R
1
C
L
0
  arc tg
R
1
C
0
X 0
1
L 
0
C
1
L 
C
U L  UC
UC
U

UL
 0
U R  RI
OBWÓD O CHARAKTERZE INDUKCYJNYM
I
X 0
1
L 
0
C
UC  U L
1
L 
C
UL
U R  RI
 0
I

U
UC
OBWÓD O CHARAKTERZE POJEMNOŚCIOWYM
X 0
1
L 
0
C
1
L 
C
1
r 
LC
U L  UC
UL
X (r )  0
UC
0
U  UR
I
OBWÓD O CHARAKTERZE REZYSTANCYJNYM
Połączenie równoległe RLC
I
U
G
IR
C
L
IL
IC
Y
B
G

1 

Y  G    C 
L

2
2
B0
1
1
C 
 0 C 
L
L
IC  I L
IL
I
IC
 0

I R  GU
U
OBWÓD O CHARAKTERZE POJEMNOŚCIOWYM
B0
1
C 
0
L
1
C 
L
IC  I L
Ic
I R  GU
U

 0
IL
I
OBWÓD O CHARAKTERZE INDUKCYJNYM
B0
1
C 
0
L
I L  IC
1
C 
L
1
r 
LC
IC
B( r )  0
IL
0
GU  I  I R
U
OBWÓD O CHARAKTERZE REZYSTANCYJNYM
Moce
w obwodach prądu sinusoidalnie zmiennego
Moc chwilowa, czynna i bierna
i  I m sin  t   i 
i
u

u  U m sin  t   i  
u

Mocą chwilową dwójnika nazywamy iloczyn wartości
chwilowych prądu i i napięcia u.
p  ui  Um I m sin  t   i sin  t   i   
u,i,p
p
i
u
P  U I cos
0

2

3

2
2
t
u (t )  U m sin(t   u )
i (t )  I m sin(t   i )
  u  i
DEFINICJA
Mocą czynną P dwójnika (u,i są wielkościami okresowymi)
nazywamy wartość średnią za okres mocy chwilowej:
1T
P  p   pdt
T0
Można wykazać, że dla przebiegów sinusoidalnie
zmiennych:
1T
1T
P  p   pdt   ( p1  p2 )dt 
T0
T0
1T
  p1dt  U I cos 
T0
WZÓR:
P  U I cos 
pozwala wyznaczyć moc czynną dwójnika, czyli miarę
energii pobieranej przez dwójnik w czasie jednego okresu:
T
wT   pdt  PT
o
W obwodach prądu zmiennego definiuje się również moc bierną:
Q  U I sin 
będącą miarą energii wymienianej między źródłem energii a
odbiornikami o charakterze reaktancyjnym (polem elektrycznym
kondensatora i polem magnetycznym cewki).
Inaczej:
Amplituda składowej przemiennej mocy chwilowej jest
wartością bezwzględną mocy biernej.
1Q  1Var
Moc chwilowa (zależności pomocnicze)
u (t )  U m sin(t   u )
i (t )  I m sin(t   i )
  u  i
Wzory pomocnicze:
1
sin  sin   cos      cos    
2
(*)
cos(   )  cos  cos   sin  sin 
(**)
Moc chwilowa:
Zgodnie z definicją
p  u (t )i (t ) 
 U m sin(t   u ) I m sin(t   i ) 
 U m I m sin(t   i ) sin(t   i   ) 

u
Moc chwilowa (cd)…
1
 U m I m  cos   cos  2 t  2i     
2
 U I cos   U I cos  2 t  2i    
(**)
  2 t  2i   
Moc chwilowa cd..
(**)
  2 t  2i   
 U I cos  1  cos  2 t  2i   
p1
 U I sin  sin  2 t  2i 
p2
p1
p2
- składowa tętniąca mocy chwilowej
- składowa przemienna mocy chwilowej
p
p,p1,p2
p1
p2
0

2

t
Rozkład mocy chwilowej na moc tętniącą p1 i moc przemienną p2
Opornik R
p  p1  p 2  U I cos 1  cos2t  2i  

 U I sin

sin

2

t

2


p

i
1

0
 U I cos 1  cos2t  2i 
p  0
t
Wniosek: moc chwilowa opornika ma charakter tętniący i jest
funkcją cosinusoidalną o podwojonej pulsacji prszesuniętą
o wartość: U I
OPORNIK
u,i,p
5
p(t)
4
3
i(t)
2
U I cos 
u(t)
1

0
t
-1
-2
-3
0,00
T
1
2
2
P   p( t )dt  U I  R I  G U
T0
6,28
Cewka L
  90 , zał. i  0
o
o
P0
p1  U I cos 1  cos2t  2i   0
p 2  U I sin  sin 2t  2i  
 U I sin t  p
2
U
Q  U I  L I 
L
2
2
PONIEWAŻ
di 1 d(i )
p  ui  L i  L
dt
2 dt
1 d i 2 ( t )  1 2
w  L
 Li ( t 2 )  i 2 ( t1 ) 
2 t1 dt
2
t2
1 2
w L  Li ( t )
2
Przyjmując:
i(t )  I m sin t
1 2
1 2
w L  Li ( t )   LI m sin 2 t 
2
2
1 2
 I 1  cos 2t 
2
i, u, p, w L
u
,
i
,
CEWKA IDEALNA
p
6
w(t)
4
2
i(t)
p(t)
u(t)

0
t
-2
-4
0,00
6,28
Kondensator C
  90 , zał. i  0
o
o
P0
p1  U I cos 1  cos2t  2i   0
p 2  U I sin  sin 2t  2i  
  U I sin t  p
2
I
Q   U I   C U  
C
2
2
PONIEWAŻ
du
1 d(u )
p  ui  C u  C
dt
2
dt
1 d u 2 ( t )  1
w  C
 Cu 2 ( t 2 )  u 2 ( t1 ) 
2 t1 dt
2
t2
Przyjmując:
1 2
w L  Li ( t )
2
i( t )  I m sin t, u( t )  U m sin t  90
1
1
2
w C  Cu ( t )   CU 2m sin 2 (t  90o ) 
2
2
1
1
2
2
2
 C U cos t   C U 1  cos 2t 
2
2
0

i, u, p, w L
kondensator idealny
u,i,p
6
w(t)
4
2
i(t)
p(t)

0
t
-2
u(t)
-4
0,00
6,28
Trójkąt mocy
2
S  P Q
2
Q>0

P
Q<0
z1
z2
11  z111
21  z 2  21
 L1i1
 M 21i1
i1
i =0
2
Cewka 1
Cewka 2
d21
di1
u2 
 M 21
dt
dt
22  z 2  22
12  z112
 L 2i 2
 M12i 2
i2
i 1= 0
z1 Cewka 1
d12
di 2
u1 
 M12
dt
dt
z 2 Cewka 2
M12  M 21  M
11
21
1
2
12
22
i
i
1  L1i1  M12i 2
1
2
2  L2i 2  M 21i1
M>0
11
21
1
2
12
22
i
i
1  L1i1  M12i 2
1
2
2  L2i 2  M 21i1
M<0
sin
d1
di1
di 2
u1 
 L1
M
dt
dt
dt
sin
d2
di 2
di1
u2 
 L2
M
dt
dt
dt