LISTA ZADAŃ NR 2 Z MATEMATYKI DYSKRETNEJ Zbiory i operacje na zbiorach, iloczyn kartezjański 1. Czy zbiory A i B są równe? Odpowiedź uzasadnij. a) A = Ø , B = {Ø} . b) A = {Ø} , B = {Ø,{Ø}} . 2. Wyznacz elementy następujących zbiorów: a) A = {x ∈ Z : -2 ≤ x < 9} . b) B = {x ∈ R : (3 - 2 x)( x + 5) = 0} . 3. Wyznacz następujące zbiory określając własności, które muszą spełniać ich elementy: a) Zbiór liczb całkowitych nieparzystych. b) Zbiór liczb całkowitych, które przy dzieleniu przez 5 dają resztę 3. c) Zbiór liczb naturalnych, które są sumą kwadratów dwóch kolejnych liczb naturalnych. 4. Znajdź warunek charakteryzujący elementy zbiorów: a) A = {−4, − 3, − 2, − 1, 0,1, 2, 3, 4}. b) B = {1, 2, 4, 8,16, 32, ...}. 1 1 1 c) C = 1, , , , .... 3 9 27 d) D = {1, 2, 3, 4, 6, 8,12, 24}. 5. Wyznacz wszystkie podzbiory następujących zbiorów: a) A = {a, b}. b) B = {1, 2, 3}. c) C = {a,{b, c}, d , e}. 6. Uzasadnij, że liczba wszystkich podzbiorów zbioru n-elementowego ( n ∈ N ) wynosi 2 n . Wskazówka: zastanów się ile podzbiorów 0, 1, 2,...,k,...,n- elementowych ma ten zbiór. Porównaj otrzymany wynik ze wzorem dwumianowym Newtona. 7. Dane są dwa zbiory A = {0,1, 2,8} , B = {0,1, 2,3, 4} . Wyznacz: A ∩ B , A ∪ B , A \ B , B\ A. 8. Dana jest przestrzeń U (uniwersum) oraz zbiory A i B. Wyznacz A′ i B ′ . a) U = N , A = {0,1, 2, 3} , B- zbiór liczb naturalnych większych od 6. b) U = Z , A = N , B- zbiór liczb całkowitych mniejszych od -2. c) U – zbiór potęg liczny 3 o wykładniku naturalnym, A- zbiór potęg liczby 3 o wykładniku parzystym, B = {1, 3, 9}. 9. Za pomocą diagramów Venna sprawdź czy poniższe równości są prawdziwe. Udowodnij te, które są prawdziwe. a) ( A ∪ B)′ = A′ ∩ B ′. b) ( A ∩ B)′ = A′ ∪ B ′. c) A ∪ ( A ∩ B) = A. d) A ∩ ( A ∪ B) = A. e) ( A ∪ B) \ A = B \ ( A ∩ B). f) A \ ( A \ B) = A ∩ B. g) A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B) ∪ ( A ∩ C ). h) ( A \ B) \ C ) = ( A \ C ) \ ( B \ C ). 1 10. Niech dla każdego n ∈ N + An = x ∈ R : ≤x≤ n a) Ai , i = 1, 2, 3, 4, 5. 3 . Wyznaczyć zbiory: n ∞ b) ∩A . n n =1 ∞ c) ∪A . n n =1 11.Wyznaczyć iloczyny kartezjańskie A × B i B × A dla następujących zbiorów: a) A = {0,1} , B = {1, 2, 3} . b) A = Ø , B = {1, 2, 3} . 12. Przyjmując, że punkty na płaszczyźnie są uporządkowanymi parami (a, b) liczb rzeczywistych, gdzie a – odcięta, b- rzędna punktu, przedstawić w układzie współrzędnych zbiory A × B i B × A dla następujących zbiorów A i B: a) A = {x ∈ R : 1 < x < 2} , B = {x ∈ R : 0 < x < 1} . b) A = {x ∈ N : −1 ≤ x ≤ 1} , B = {x ∈ R : 0 < x ≤ 1} . c) A = {x ∈ R : 0 < x < 1 ∨ 2 < x ≤ 3} , B = {x ∈ R : 1 < x ≤ 2 ∨ x ≥ 3} . d) A = N , B = {x ∈ Z : −3 ≤ x ≤ 2} . 13. Udowodnić wzory: a) ( A ∩ B) × C = ( A × C ) ∩ ( B × C ) . b) A × ( B ∪ C ) = ( A × B ) ∪ ( A × C ) . c) A × ( B \ C ) = ( A × B) \ ( A × C ) . Dorota Majorkowska-Mech