Algebra i jej zastosowania - konspekt wykładu

Algebra i jej zastosowania - konspekt wykładu
Agata Pilitowska
MiNI - rok akademicki 2012/2013
Spis treści
1 Ciała
1.1 Rozszerzenia ciał . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Ciała skończone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.1
1
1
3
Ciała
Rozszerzenia ciał
Definicja 1.1. Podciałem ciała (K, +, ·) nazywamy dowolny jego podpierścień
(F, +, ·), który także jest ciałem. Ciało (K, +, ·) nazywamy rozszerzeniem
ciała (F, +, ·).
Przykład 1.2. Ciało (Q, +, ·) jest podciałem ciała (R, +, ·).
Ciało (C, +, ·) jest rozszerzeniem ciała (R, +, ·).
Ogólnie, dla ciała (F, +, ·) i nierozkładalnego wielomianu p(x) ∈ F [x] , ciało
F [x]/(p(x)) jest rozszerzeniem ciała (F, +, ·).
Twierdzenie 1.3. Niech (K, +, ·) be,dzie rozszerzeniem ciała (F, +, ·). Wtedy
(K, +, ·) ma strukture, przestrzeni liniowej nad ciałem (F, +, ·).
Definicja 1.4. Stopniem rozszerzenia (K, +, ·) ciała (F, +, ·), co oznaczamy
[K : F ], nazywamy wymiar przestrzeni liniowej (K, +, ·) nad ciałem (F, +, ·).
Mówimy, że ciało (K, +, ·) jest skończonym rozszerzeniem (F, +, ·), jeśli
stopień [K : F ] jest skończony.
Przykład 1.5. [C : R] = 2
[Z5 [x]/(x3 + x + 1) : Z5 ] = 3
Twierdzenie 1.6. Niech (F, +, ·) be,dzie ciałem, p(x) ∈ F [x] wielomianem
nierozkładalnym nad (F, +, ·), stopnia n. Wtedy
[F [x]/(p(x)) : F ] = n.
1
1 CIAŁA
2
Twierdzenie 1.7. Niech (L, +, ·) be,dzie skończonym rozszerzeniem (K, +, ·) i
niech (K, +, ·) be,dzie skończonym rozszerzeniem (F, +, ·). Wtedy (L, +, ·) jest
skończonym rozszerzeniem (F, +, ·) oraz
[L : F ] = [L : K][K : F ].
Definicja 1.8. Niech (K, +, ·) be,dzie rozszerzeniem ciała (F, +, ·) i niech a ∈
K. Najmniejsze podciało ciała (K, +, ·) zawieraja,ce F ∪ {a} nazywamy ciałem
otrzymanym z (K, +, ·) przez doła,czenie elementu {a} i oznaczamy F (a).
Ciało F (a) jest przecie,ciem wszystkich podciał ciała (K, +, ·) zawieraja,cych
F ∪ {a}.
Przykład 1.9. Najmniejszym ciałem zawieraja,cym ciało liczb rzeczywistych
oraz element i jest ciało liczb zespolonych.
Przykład 1.10. Niech (R, +, ·) be,dzie pierścieniem całkowitym i xnotinR.
Każde ciało zawieraja,ce R∪{x} musi zawierać pierścień wielomianów (R[x], +, cdot).
Najmniejszym ciałem zawieraja,cym pierścień (R[x], +, cdot) jest jego ciało ułamków,
czyli ciało funkcji wymiernych.
Definicja 1.11. Niech (K, +, ·) be,dzie rozszerzeniem ciała (F, +, ·). Element
k ∈ K nazywamy algebraicznym nad (F, +, ·), jeśli istnieja, a0 , a1 , . . . , an ∈
F , nie wszystkie równe zero, takie że
a0 + a1 k + . . . + an k n = 0.
Elementy, które nie sa, algebraiczne nad (F, +, ·), nazywamy przeste,pnymi
nad (F, +, ·).
√
√
Przykład 1.12. Liczby 5, 3, i, n 7 + 3 sa, algebraiczne nad Q.
Liczby π oraz e sa, przeste,pne nad Q, gdyż nie sa, pierwiastkami żadnego wielomanu
o współczynnikach wymiernych.
Twierdzenie 1.13. Niech α be,dzie elementem algebraicznym nad ciałem (F, +, ·)
i niech p(x) ∈ F [x] be,dzie wielomianem nierozkładalnym nad (F, +, ·) stopnia n
takim, że F (α) = 0. Wtedy
(F (α), +, ·) ∼
= (F [x]/(p(x)), +, ·).
Ponadto,
F (α) = {c0 + c1 α + . . . + cn−1 αn−1 | ci ∈ F }.
Wniosek 1.14. Jeśli α jest pierwiastkiem wielomianu stopnia n nierozkładalnego
nad (F, +, ·), to [F (α) : F ] = n.
√
Przykład
1.15. [Q( 2) : Q] = 2
√
[Q( 4 7i) : Q] = 4
Twierdzenie 1.16. Niech p(x) be,dzie wielomianem nierozkładalnym nad ciałem
(F, +, ·). Wówczas istnieje skończone rozszerzenie (K, +, ·) ciała (F, +, ·), w
którym p(x) ma pierwiastek.
1 CIAŁA
3
Twierdzenie 1.17. Niech f (x) be,dzie wielomianem nad ciałem (F, +, ·). Istnieje
skończone rozszerzenie (K, +, ·) ciała (F, +, ·), nad którym f (x) rozkłada sie, na
czynniki liniowe.
Twierdzenie 1.18. Jeżeli (K, +, ·) jest skończonym rozszerzeniem ciała liczb
rzeczywistych, to (K, +, ·) ∼
= (R, +, ·) lub (K, +, ·) ∼
= (C, +, ·).
1.2
Ciała skończone
Definicja 1.19. Charakterystyka, ciała (F, +, ·) nazywamy najmniejsza, liczbe,
naturalna, n taka,, że n · 1 = 0 i ozn. ch(F ).
Jeśli nie istnieje liczba naturalna o tej własności, to mówimy, że ciało (F, +, ·)
ma charakterystyke, 0.
Przykład 1.20. ch(Z3 ) = 3
ch(Q) = 0.
Twierdzenie 1.21. Charakterystyka ciała (F, +, ·) jest zawsze liczba, pierwsza,
lub zerem.
Twierdzenie 1.22. Niech (F, +, ·) bedzie ciałem. Jeśli ch(F ) = p, gdzie p jest
liczba, pierwsza,, to ciało (F, +, ·) zawiera podciało izomorficzne z (Zp , +p , ·p ).
Jeśli ch(F ) = 0, to (F, +, ·) zawiera podciało izomorficzne z ciałem (Q, +, ·).
Wniosek 1.23. Każde ciało skończone ma niezerowa, charakterystyke,.
Istnieja, ciała nieskończone, których charakterystyka jest skończona.
Twierdzenie 1.24. Każde ciało skończone zawiera pm elementów, dla pewnej
liczby pierwszej p i liczby naturalnej m.
Definicja 1.25. Ciało skończone zawieraja,ce pm elementów nazywamy ciałem
Galois rze,du pm i oznaczamy symbolem GF (pm ).
Z dokładnościa, do izomorfizmu, dla każdej liczby pierwszej p i liczby m ∈ N,
istnieje dokładnie jedno ciało rze,du pm . Jeśli m = 1, to GF (p) = (Zp , +p , ·p ).
Ciało GF (pm ) jest rozszerzeniem ciała (Zp , +p , ·p ) stopnia m. Można je
zatem skonstruować przez znalezienie odpowiedniego wielomianu g(x) ∈ Zp [x]
stopnia m, nierozkładalnego w (Zp [x], +, ·). Sta,d
GF (pm ) ∼
= (Zp [x]/(q(x)), +, ·).
Istnieje ponadto element α ∈ GF (pm ) taki, że q(α) = 0 oraz
GF (pm ) ∼
= (Zp (α), +, ·).
Sta,d
GF (pm ) = ({a0 + a1 α + . . . + am−1 αm−1 | ai ∈ Zp }, +, ·).
1 CIAŁA
4
Przykład 1.26. GF (4) = GF (22 ) = Z2 [x]/(x2 + x + 1) = Z2 (α) = {0, 1, α, α +
1}, gdzie α2 + α + 1 = 0.
+
0
1
α
α+1
0
1
0
1
1
0
α
α+1
α+1
α
α
α+1
α
α+1
α+1
α
0
1
1
0
·
0
1
α
α+1
0
1
α
α+1
0
0
0
0
0
1
α
α+1
0
α
α+1
1
0 α+1
1
α
Przykład 1.27. GF (125) ∼
= (Z5 [x]/(x3 + x + 1), +, ·).
3
Wielomian x + x + 1 nie jest jedynym wielomianem nierozkładalnym nad Z5
stopnia 3. Takim wielomianem jest także np. x3 + x2 + 1. Oba ciała (Z5 [x]/(x3 +
x + 1), +, ·) oraz (Z5 [x]/(x3 + x2 + 1), +, ·) sa, izomorficzne.
Twierdzenie 1.28. Niech GF (pm )∗ be,dzie zbiorem niezerowych elementów w
ciele Galois GF (pm ). Wtedy (GF (pm )∗ , ·) jest grupa, cykliczna, rze,du pm − 1.
Generator grupy (GF (pm )∗ , ·) nazywamy elementem pierwotnym ciała GF (pm ).
m
Jeśli α jest elementem pierwotnym ciała GF (pm ), to GF (pm ) = {0, 1, α, α2 , . . . , αp −2 }.
Przykład 1.29. W ciele GF (4) = Z2 (α) = {0, 1, α, α+1} elementem pierwotnym
jest α.
Jeśli GF (pm ) ∼
= (Zp [x]/(q(x)), +, ·) oraz q(α) = 0, to nie zawsze α jest
elementem pierwotnym ciała GF (pm ).
Przykład 1.30. GF (9) = Z3 [x]/(x2 + 1), +, ·) ∼
= Z3 (α) = {a + bα | a, b ∈ Z3 ,
gdzie α2 + 1 = 0. (GF (9)∗ , ·) jest grupa, cykliczna, rze,du 8, której generatorami
sa,: 1 + α, 2 + α, 1 + 2α lub 2 + 2α. Sta,d α nie jest elementem pierwotnym ciała
GF (9).