CIĄGI

1.
2.
3.
4.
5.
6.
CIĄGI
Należy powtórzyć:
 określenie ciągu;
 monotoniczność i ograniczoność ciągu;
 określenie ciągu arytmetycznego, wzór ogólny i wzór na sumę npoczątkowych wyrazów;
 określenie ciągu geometrycznego, wzór ogólny i wzór na sumę npoczątkowych wyrazów;
 obliczanie granicy ciągu;
 określenie szeregu geometrycznego, warunek zbieżności szeregu;
 procent prosty;
 procent składany.
Dany jest ciąg o wzorze an=n2-2n+1. Wyznacz wyrazy tego ciągu, które są nie większe
od 4.
Które spośród liczb : 1, 7, 63, 510, 1023 są wyrazami ciągu an=2n-1?
Zbadaj monotoniczność ciągu:
3n  5
a) an= -3n+2 b) an=2n2+6n+4 c) an=3n d) a n 
.
n 1
Uzasadnij, że ciąg an=(-2)n nie jest monotoniczny.
2
Sprawdź czy ciąg a n  3  jest ograniczony.
n
Sprawdź, czy ciąg o wyrazie ogólnym danym wzorem an  n3  3n2  2 jest ciągiem
arytmetycznym.
1
5
są kolejnymi wyrazami
,
3
12
ciągu arytmetycznego. Przyjmując założenie, że 1 jest wyrazem pierwszym, oblicz
4
7. Uzasadnij, że w podanej kolejności liczby
1
4
,
wyraz siedemnasty tego ciągu.
8. Wyznacz wzór ogólny ciągu arytmetycznego, którego trzeci wyraz jest równy 15, zaś
wyraz siódmy 31. Oblicz sumę dziesięciu początkowych wyrazów tego ciągu.
9. Obliczyć sumę tych wszystkich liczb naturalnych większych od 100, a mniejszych od 200,
które są podzielne przez 3 lub przez 4.
10. W ciągu kolejnych dni kwietnia notowano średni kurs dnia dolara amerykańskiego.
Okazało się, że rósł on systematycznie każdego dnia o 0,02 złotego osiągając 30 kwietnia
wartość 4,98zł. Oblicz jaki był średni kurs $ 17 kwietnia oraz jaki dolar uzyskał średni
kurs w kwietniu?

1
11. Ciąg geometryczny dany jest wzorem a1  2

a n  2a n 1
. Wyznacz wzór
dla
n N  n 1
ogólny tego ciągu i oblicz sumę początkowych pięciu wyrazów.
12. Liczby 1 i 2 2 są odpowiednio pierwszym i czwartym wyrazem ciągu geometrycznego.
Oblicz sumę tych wyrazów tego ciągu, które są większe od 10, zaś mniejsze od 20.
13. Wyznacz wzór ogólny ciągu geometrycznego gdy a5 = 8  a9 = 128.
14. Suma trzech liczb tworzących ciąg geometryczny jest równa 62 , a ich iloczyn jest równy
1000. Wyznacz te liczby.
15. Oblicz granice ciągów:
1  2n
1  2n 3
a) a n 
b) bn  n 2  2  n 2  1
c) cn 
3n  1
5n  3
1
2n 2  5n  3
e) en  3 2n  5  3 n 2  6n .
4
3n  1
16. Uzasadnij, że nie istnieje granica lim  3  (1) n .
d) d n 
n
17. Oblicz granicę ciągu o wyrazie ogólnym: an 
1  2  3... n
.
n2
18. Zamień ułamek okresowy 3,2(35) na zwykły.
19. Dla jakich liczb rzeczywistych x  0 podany szereg geometryczny jest zbieżny?
1
2
4
 4  6 ...
2
x
x
x
20. Dany jest okrąg o promieniu 1, w który wpisano kwadrat. W kwadrat ten znów wpisano
okrąg, a w niego kwadrat itd. Oblicz sumę pól wszystkich utworzonych w ten sposób
kwadratów.
2
4
21. Rozwiąż równanie x 2  x 3  x 4 ...  3 , w którym lewa strona jest sumą wyrazów
3
9
nieskończonego ciągu geometrycznego.
22. Rodzice 7 – letniej Kasi i 13 – letniego Tomka wpłacili 10 tyś zł. na oprocentowane 5% w
skali roku i kapitalizowane co roku konto, czyniąc zastrzeżenie, że swoją część każde z
dzieci otrzyma w chwili uzyskania pełnoletności i że dla każdego z dzieci będzie to taka
sama kwota. Jaka kwota w chwili założona konta przypadała Kasi, a jaka Tomkowi?
2