Twierdzenie cosinusów (Carnota)

Twierdzenie cosinusów (Carnota)
b
a
α
c
W dowolnym trójkącie kwadrat dowolnego boku jest równy sumie kwadratów pozostałych
boków, pomniejszonej o podwojony iloczyn tych boków i cosinusa kąta zawartego między
nimi.
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos α
Dowód
1.
Pierwszy dowód opiera się na pojęciu iloczynu skalarnego i jego własnościach.
Przypominam: iloczyn skalarny wektorów to działanie przyporządkowujące parze wektorów liczbę zgodnie ze wzorem:
a o b = a ⋅ b ⋅ cos α
a, b – długości odpowiednich wektorów, które możemy też oznaczyć a, b.
α – kąt między nimi
b
a
α
c
Z rysunku widać, że
a+b=c
Stąd
a =c−b
Podnieśmy tę równość do kwadratu (skalarnego)
(
)(
)
aoa = c −b o c −b = c oc +bob −c ob −boc
Z definicji iloczynu skalarnego mamy
a o a = a ⋅ a ⋅ cos 0° = a 2
Ponadto iloczyn skalarny jest przemienny.
Mamy więc
a 2 = c 2 + b 2 − 2b o c
Wykorzystajmy jeszcze definicję iloczynu skalarnego.
a 2 = c 2 + b 2 − 2bc cos α
Gotowe.
2.
Przypadek I – wysokość trójkąta opada na jego bok.
c
a
h
b-x
x
α
b
Wykorzystajmy twierdzenie Pitagorasa do obliczenia a.
2
a 2 = (b − x ) + h 2
Można jeszcze napisać:
h2 = c 2 − x 2
Zatem:
2
a 2 = (b − x ) + c 2 − x 2
a 2 = b 2 − 2bx + x 2 + c 2 − x 2
a 2 = b 2 + c 2 − 2bx
Widzimy, że
x
= cos α
c
Stąd:
x = c cos α
Zatem ostatecznie:
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos α
Przypadek II – wysokość opada na przedłużenie boku.
c
h
a
x
b
b+x
a2 = h2 + x 2
2
h 2 = c 2 − (b + x )
2
a 2 = c 2 − (b + x ) + x 2
a 2 = c 2 − b 2 − 2bx − x 2 + x 2
a 2 = c 2 − b 2 − 2bx
Widać, że
b+x
= cos α
c
b + x = c cos α
x = c cos α − b
a 2 = c 2 − b 2 − 2b ⋅ (c cos α − b )
a 2 = c 2 − b 2 − 2bc cos α + 2b 2
Zatem
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos α
Twierdzenie udowodnione.
α