ALGEBRA LINIOWA 1 A. LISTA 8. Liczby zespolone. wiczenia

ALGEBRA LINIOWA 1 A. LISTA 8. Liczby zespolone.
Zaj¦cia 1 grudnia 2016 r.
‚wiczenia.
1 − 3i oraz 4 + 5i.
z + iImw, Imz/iRew, z 2 /w, je±li z = 5 − 2i i w = 3 − 32 i.
Znajd¹ liczby rzeczywiste x i y speªnia j¡ce nast¦puj¡ce równania:
(a) x(2 + 3i) + y(5 − 2i) = −8 + 7i;
(b) (2 + yi) · (x − 3i) = 7 − i.
Znajd¹ liczby zespolone z speªnia j¡ce nast¦puj¡ce równania:
(a) (3 + i) + z = −7 + 2i;
(b) (1 + i) · z + 2 = 0;
(c) (1 + i) · z + 3 · (z − i) = 0.
√
Oblicz moduªy podanych liczb zespolonych: i,
−1 + 3i, 1 − 3i, −5 √
− 12i. √
Znajd¹ argumenty podanych liczb zespolonych: 2, i,
−π , 3 − 3i, 1 + 3i, − 3 + i.
1. Oblicz sum¦, ró»nic¦, iloczyn i iloraz liczb zespolonych
2. Wykonaj dziaªania: Re
3.
4.
5.
6.
7. Podane liczby zespolone zapisz w postaci trygonometrycznej:
−1, 1 + i, −1 −
√
√
3i, 7 − 7i, −5 + 5 3i.
8. Zapisz w formie algebraicznej liczb¦ zespolon¡ o module
(a)
◦
210
,
3
(b)
π,
2
(c)
3/2,
której argument wynosi
−π .
9. Oblicz podane iloczyny posªuguj¡c si¦ postaci¡ trygonometryczn¡:
(a)
√
(1 + i) · ( 3 + i),
(b)
(4 + 4i) · (−3 + 3i),
10. Rozwi¡» w zbiorze liczb zespolonych równanie
√
(10 − 10 3i) · (2 − 2i).
2z + z = 6 − 5i.
(c)
11. Korzystaj¡c ze wzoru de Moivre'a oblicz podane pot¦gi liczb zespolonych:
√
√
√
(1 + i)10 , ( 3 − i)7 , ( 2i − 2)12 , i2005 .
12. Posªuguj¡c si¦ postaci¡ trygonometryczn¡, oblicz i narysuj podane pierwiastki z liczb zespolonych (wszystkie!): (a) 3 stopnia z liczby
√
−(1/2) + ( 3/2)i;
8i;
(b) 6 stopnia z liczby 27; (c) 4 stopnia z liczby
(d) 8 stopnia z liczby 1.
13. Znajd¹ wszystkie zespolone rozwi¡zania nast¦puj¡cych równa«:
(a)
z 2 − z + 1 = 0,
(b)
z 2 + 3z + 3 − i = 0,
(c)
z 2 + (2i − 1)z + 1 + 5i = 0.
Sprawd¹, »e znalezione rozwi¡zania speªniaj¡ poszczególne równania.
Zadania.
z, z1 , z2 b¦d¡ dowolnymi liczbami zespolonymi. Uzasadnij równo±ci:
(z1 + z2 ) = Rez1 + Rez2 , (b) Re(iz) = −Imz , (c) Im(iz) = Rez .
Uzasadnij, »e je±li z = r · (cos ϕ + i sin ϕ), to liczba 1/z ma posta¢ trygonometryczn¡
(1/r) · (cos(−ϕ) + i sin(−ϕ)).
1. Niech
(a) Re
2.
3. Bezpo±rednio, albo korzystaj¡c z poprzedniego zadania, wyprowad¹ wzór na posta¢ trygonometryczn¡ ilorazu dwóch liczb zespolonych (o zadanych postaciach trygonometrycznych).
4. Posªuguj¡c si¦ postaciami trygonometrycznymi uzasadnij, »e dla dowolnych liczb zespolonych
z, z1 , z2 zachodz¡ zale»no±ci:
(a) | − z| = |z|,
(b) |z1 · z2 | = |z1 | · |z2 |,
(c)
|z1 /z2 | = |z1 |/|z2 |,
(d)
|z/|z|| = 1.
5. Korzystaj¡c z postaci trygonometrycznej i ze wzoru uzyskanego w zadaniu 2 oblicz podane
ilorazy: (a)
(2 + 2i)/(1 − i),
(b)
(1 −
√
√
3i)/( 3 + i),
(c)
6. Wyprowad¹ wzór de Moivre'a dla ujemnych wykªadników
metrycznej dla liczby
3i/(1 + i).
n. Skorzysta j
z postaci trygono-
1/z .
7. Znajd¹ wszystkie zespolone pierwiastki równania
x3 − x2 + 2x − 2 = 0.
Wskazówka: sprawd¹,
»e jednym z pierwiastków jest 1.
8. Znajd¹ wszystkie pierwiastki z stopnia
n z liczby 1.
9. Poka», »e iloczyn dowolnych pierwiastków stopnia
stopnia
n = 1, 2, 3, 4, 8 narysuj je na wykresie.
n z liczby 1 jest te» jej pierwiastkiem
Dla
n.
10. Poka», »e dowolny pierwiastek stopnia 7 z
−1
jest pierwiastkiem stopnia 14 z 1.
11. Udowodnij, »e suma wszystkich pierwiastków stopnia
zamiast
8
b¦dzie dowolne
n.
8
z liczby
1
wynosi
0.
To samo gdy