CIEKAWE LICZBY

CIEKAWE LICZBY
DAWID ŁUBIK
PALIDROM
• To liczba naturalna, którą czyta się tak
samo
• od początku i od końca.
• Przykłady liczb palindromicznych to:
• 55
474
50805
1235321
LICZBA AUTOMORFICZNA
• To liczba, której kwadrat zakończony
• jest tymi samymi cyframi co sama liczba.
• Przykład:
762 = 5776
252 = 625
LICZBA ZŁOTA
•
•
•
•
•
•
•
•
•
To liczba ½(√5 – 1). Wyraża ona długość odcinka
spełniającego warunek tzw. złotego podziału.
Jest to liczba niewymierna, równa ułamkowi
dziesiętnemu 0,61804… albo też bardzo
niezwykłemu ułamkowi łańcuchowemu:
1
1+
1
1+
1
1+
1
1+ …
• Złoty podział jako pierwszy wyrysował Hippasus w V
wieku p.n.e..
• Starożytni Grecy uważali złoty podział za idealną
proporcję, którą chętnie realizowali w architekturze.
•
Przykładem złotej figury może być złoty prostokąt,
w którym po odcięciu od niego kwadratu otrzymujemy
prostokąt podobny do poprzedniego.
• Liczba złota ma ciekawe właściwości:
• Aby ją podnieść do kwadratu, wystarczy dodać do niej
jedynkę,
• Aby zaleźć jej odwrotność, wystarczy odjąć od niej
jedynkę.
LICZBA DOSKONAŁA
• To liczba naturalna, która jest sumą wszystkich
• swoich dzielników właściwych (czyli
mniejszych
• od wartości danej liczby).
• Przykład:
• 6
bo D6 = {1,2,3};
1+2+3= 6
• 28 bo D28 = {1, 2, 4, 7, 14}; 1+2+4+7+14=28
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Pierwsze dwie liczby doskonałe 6 i 28 znane
były starożytnym.
Kolejne dwie: 496 i 8128 znalazł Euklides.
Następna liczba – 33550336 – została
znaleziona ponad tysiąc lat później.
Dziś znamy zaledwie kilkadziesiąt liczb
doskonałych. Nie wiemy też, czy istnieją
nieparzyste liczby doskonałe.
Jeśli tak to są to okazy niezwykle rzadkie i
wielkie.
LICZBY ZAPRZYJAŹNIONE
• Dwie liczby naturalne takie, że każda z nich jest
• równa sumie wszystkich naturalnych
dzielników
• właściwych drugiej liczby.
• Przykłady liczb zaprzyjaźnionych to: 220 i 284.
• Dzielniki właściwe liczby 220 i 284 to:
• D220 = {1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110}
• 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110 = 284
• D284 = {1, 2, 4, 71, 142}
• 1+2+4+71+142 = 220
LICZBY LUSTRZANE
•
•
•
•
125
68
325
17
i
i
i
i
521
86
5423
71
LICZBY BLIŹNIACZE
• To dwie liczby pierwsze różniące się o 2.
• Przykłady to: 3 i 5; 5 i 7; 11 i 13; 17 i 19.
•
•
•
•
•
•
•
•
Do chwili obecnej nie wiadomo czy istnieje
nieskończenie wiele par liczb bliźniaczych.
Największa znana para to:
260497545 x 26625 + 1 i 260497545 x 26625 – 1.
Bliźniaki rekordzistki mają po 11 713 cyfr.
Zapisanie każdej z nich w postaci rozwiniętej
zajęłoby zatem ponad 6.5 strony
znormalizowanego maszynopisu !!!
Liczby Fibonacciego
•
•
•
•
•
Liczby naturalne tworzące ciąg liczb o takiej
własności, że każdy kolejny wyraz jest sumą
dwóch poprzednich.
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377…
bo: 1 + 1 = 2
1+2=3
2 + 3 = 5 itd.
CZY WIESZ ŻE ?
•
•
•
•
•
•
•
Ciąg Fabionacciego to ulubiony ciąg przyrody.
W taki sposób opisana jest np. liczba pędów
rośliny jednostajnie przyrastającej w latach
(np. drzewa) lub róże kalafiora zielonego,
ziarna słonecznika czy łuski szyszek.
Ilość tworzonych spiral prawo- i lewoskrętnych
kwiatostanów tworzy liczby Fibonacciego
PI

HISTORIA PI
• - Babilończycy (ok.2000p.n.e.) szacowali
wartość
• liczby równą 3;
• - Egipcjanie (ok.2000p.n.e.) przyjmowali
• wartość (16/9)2;
• - Archimedes (IIIw.p.n.e.) stosował
• przybliżenie (22/7);
• - W 1610r holenderski matematyk Ludolf van
• Ceulen wyznaczył przybliżenie liczby
• z dokładnością do 35 miejsc po przecinku;
•
•
•
•
•
•
- W 1706r matematyk angielski W. Jones
wprowadził dzisiaj stosowany symbol liczby;
- Symbol liczby został spopularyzowany
w połowie XVIIIw przez szwajcarskiego
matematyka L. Eulera;
- Obecnie dzięki technice elektronicznej
obliczono
• milion cyfr rozwinięcia dziesiętnego
• LICZBA PI NOSI NAZWĘ LUDOLFINY
MNEMOTECHNIKA
• Jest to popularna dawniej sztuka
układania
• wierszy lub innych tekstów, w których
liczby
• liter poszczególnych słów są identyczne
• z zajmującymi to samo miejsce cyframi
• występującymi w rozwinięciu dziesiętnym
• danej liczby.
•
•
•
•
•
•
•
Przykładem mnemotechniki jest
poniższy
wiersz K. Cwojdzińskiego
„Kuć i orać w dzień zawzięcie,
Bo plonów nie-ma bez trudu!
Złocisty szczęścia okręcie
Kołyszesz…
Kuć. My nie czekajmy cudu.
Robota to potęga ludu.”
3,14159265358979323846264
Czy wiesz kto spowodował dziurę
budżetową
naszego Państwa ???
•
•
•
•
•
•
•
•
Okazuje się, że nasze współczesne
problemy gospodarcze, dziurę budżetową
oraz bezrobocie spowodował
BOLESŁAW CHROBRY !!!
Gdyby w roku 1002 złożył w banku 1gr
to przy oprocentowaniu 4% rocznie
i corocznym doliczaniu odsetek w roku 2002
w kasie państwa mielibyśmy dodatkowe
1 071 500 000 000 000zł
(1 biliard 71 bilionów 500 miliardów zł)
CIEKAWA TRÓJKA
•
•
•
•
332
3332
33332
333332
= 1089
= 110889
= 11108889
= 1111088889
• Jak zapisujemy w systemie rzymskim liczby
• od 1 do kilku tysięcy uczyłeś się już w szkole,
• ale czy zastanawiałeś się kiedyś jak
przedstawiać
• liczby większe?
• Zasada jest prosta – pomaga nam pozioma
kreska
• zapisana nad liczbą rzymską! Powstała nowa
liczba jest tysiąc razy większa od początkowej!
• Na przykład:
• M = 1000
ale
M = 1 000 000
• X = 10
ale
X = 10 000
KONIEC
DAWID ŁUBIK