Pobierz

III Liceum Ogólnokształcące im. Unii Lubelskiej w Lublinie
Plac Wolności 4, 20-005 Lublin
Tel./Fax: 81 532 09 47, e-mail: [email protected]
V Konkurs Matematyczny
UniMat
etap I
11 lutego 2016 r.
czas: 90 min.
Przed Tobą do rozwiązania test składający się z 20 zadań. Do każdego zadania podano
4 odpowiedzi, z których co najmniej jedna jest prawdziwa. Twoim zadaniem jest
wypełnienie tabeli odpowiedzi wpisując T (tak) lub N (nie) w zależności od tego, czy
odpowiedź jest prawdziwa czy fałszywa. Za każdą prawidłową odpowiedź otrzymasz 3
punkty, za brak odpowiedzi 0 punktów, za złą odpowiedź stracisz 1 punkt.
UWAGA 1 Jeśli w zadaniu udzielisz cztery odpowiedzi N lub trzy odpowiedzi N i nie
udzielisz odpowiedzi T, otrzymasz za to zadanie minus 12 punktów.
UWAGA 2 Podczas konkursu nie możesz korzystać z kalkulatora.
Na kartę odpowiedzi wpisz wyraźnie swoje imię, nazwisko oraz gimnazjum.
Oto przykład wypełniania karty odpowiedzi:
Nr
Zad.
a)
1
2
T
N
ODPOWIEDZI
b)
c)
d)
N
N
T
N
Punkty
N
T
Powodzenia!
1.
Jeśli zwiększymy podstawę trójkąta o 60%, a wysokość zmniejszymy o 40%, to:
a) jego pole zwiększymy o 20%
b) jego pole nie wzrośnie
c) jego pole zmaleje co najmniej o 8%
d) jego pole zmaleje co najwyżej o 6%
2.
Punkt S jest środkiem okręgu, kąt DSA
ma miarę 80o, zaś kąt DBC ma miarę 70o.
Z tego wynika, że miara kąta 
zaznaczonego na rysunku wynosi:
a)
60o
b)
70o
c)
75o
d)
80o
3.
Istnieje taki graniastosłup, który ma
a)
parzystą liczbę ścian i nieparzystą liczbę krawędzi
b)
krawędzi dwa razy tyle, co wierzchołków
c)
krawędzi dwa razy tyle, co ścian
d)
krawędzi cztery razy tyle, co ścian
4.
Pewne pary liczb dwucyfrowych mają tę własność, że ich iloczyn jest równy iloczynowi
liczb otrzymanych w wyniku przestawienia cyfr, na przykład 31 26  13  62 .
Wskaż ile dokładnie jest dodatnich liczb dwucyfrowych n takich, że 21  n  12  n , gdzie
n oznacza liczbę powstałą poprzez przestawienie cyfr liczby n.
a)
2
b)
4
c)
6
d)
8
5.
Liczby na rysunku oznaczają pola
trójkątów. Wobec tego pole x
trójkąta BDE jest równe:
a)
9
b)
12
c)
15
d)
30
6.
Jeśli a i b są pewnymi liczbami całkowitymi spełniającymi równanie
a)
b)
c)
d)
7.
3a  b 2
 , to
2a  5b 3
może być taka sytuacja, że obie liczby a i b są parzyste
może być taka sytuacja, że jedna z liczb jest parzysta, a druga nieparzysta
liczba b musi być podzielna przez 5
liczba a musi być podzielna przez 5
Kartkę w kształcie półkola o promieniu 10 cm zwinięto otrzymując powierzchnię
boczną stożka, potem dorobiono do niej podstawę.
a) Powierzchnia boczna tego stożka jest dwa razy większa od powierzchni podstawy.
b) Powierzchnia boczna tego stożka jest cztery razy większa od powierzchni podstawy.
125
3
d) Objętość stożka jest równa 125 3
c) Objętość stożka jest równa
8.
Liczby a i b spełniają równania: a  b  5 oraz ab  3 . Wobec tego:
a 2  b2  20
a)
b)
c)
d)
9.
1 1 5
 
a b 3
(a  1)2  (b  1)2  31
a b
 6
b a
Jaką część sześciokąta foremnego zajmuje trójkąt
ABG?
a)
1
3
b)
1
4
c)
5
12
d)
3
8
10. Bryła ABCDEFGH jest sześcianem, którego
krawędź ma długość a. Punkty K, L są środkami
boków. Wobec tego:
1
3
7
b)
objętość bryły DBCKLG jest równa a 3
12
2
a 6
c)
pole trójkąta KLG jest równe
4
2
a 5
d)
pole trójkąta KLG jest równe
4
11. Liczba 20162016
a)
objętość bryły DBCKLG jest równa a 3
a)
b)
c)
d)
jest podzielna przez  42016 
jest podzielna przez 34032
jest podzielna przez 271008
4
jest równa 10081008 
2
12. Trójkąt ABC jest równoboczny. |AB|=8, |AE|=3.
Wobec tego
| BE | 4 3
a)
| BE | 7
b)
c)
d)
15 3
4
| BE | 4 3
| BE |
13. Samochód jechał z miasta A do miasta B ze stałą szybkością 80 km/h, zaś wracał tą
samą drogą ze stałą szybkością 60 km/h. Średnia szybkość na całej trasie A-B-A
a)
jest równa 70 km/h
b)
jest mniejsza niż 70 km/h
c)
jest większa niż 70 km/h.
d)
Nie da się obliczyć średniej szybkości, jeśli nie znamy długości drogi z A do B.
14. Ile jest liczb całkowitych n, dla których liczba
a)
b)
c)
d)
tylko jedna
są dokładnie 4 takie liczby
jest dokładnie 6 takich liczb
jest nieskończenie wiele takich liczb
15. Liczba a  327  323  612  4  610
a)
b)
c)
d)
jest podzielna przez
jest podzielna przez
jest podzielna przez
jest podzielna przez
40
80
310
327
n7
jest całkowita?
n3
16. Czy istnieje 2016 takich różnych liczb pierwszych, że:
a)
b)
c)
d)
ich suma jest liczbą nieparzystą?
ich suma jest liczbą parzystą?
ich iloczyn jest liczbą nieparzystą?
ich iloczyn jest liczbą parzystą?
17. Każdy z dwóch boków trójkąta ostrokątnego ma długość 2. Wynika z tego, że
a)
b)
c)
d)
każda wysokość tego trójkąta ma długość mniejszą od 2
pole tego trójkąta jest mniejsze od 2
trzeci bok tego trójkąta ma długość mniejszą od 2
trzeci bok tego trójkąta ma długość mniejszą od 3
18. Janek idzie z prędkością x km/h pokonując 1km w ciągu x kwadransów.
a)
b)
c)
d)
Trasę 8 km pokona w czasie nie dłuższym niż 3,5 godziny
Gdyby szedł dwa razy szybciej, to trasę 8 km pokonałby w czasie o 2 godziny
krótszym
Gdyby szedł dwa razy wolniej, to trasę 8 km pokonałby w czasie o 3 godziny
dłuższym
Gdyby szedł dwa razy wolniej, to trasę 7 km pokonałby w czasie dwa razy
dłuższym
19. W pewnym mieście mieszkają tylko prawdomówni i kłamcy. Kłamcy zawsze kłamią, a
prawdomówni zawsze mówią prawdę. Pewnego razu w domu jednego z nich zebrało się
kilku mieszkańców. Trzech z nich powiedziało:
 Pierwszy: "Jest nas tutaj nie więcej niż trzech. Każdy z nas jest kłamcą"
 Drugi:
"Jest nas tutaj nie więcej niż czterech. Nie wszyscy z nas są kłamcami."
 Trzeci:
"W domu jest pięć osób. Trzej z nas to kłamcy"
Ile osób było w pokoju i ilu z nich to kłamcy?
a) 3 osoby, 1 kłamca
b) 4 osoby, 1 kłamca
c) 4 osoby, 2 kłamców
d) 5 osób, 2 kłamców
20. Na rysunku mamy 9-kąt foremny.
Jaka jest miara kąta ?
a)
b)
c)
d)
55o
57,5o
60o
62,5o