Wartość bezwzględna

Definicja
Wartość bezwzględna liczby rzeczywistej x (inaczej moduł liczby
rzeczywistej x) jest oznaczana przez |x| i zdefiniowana w sposób
następujący:
•
wartość bezwzględna z liczby nieujemnej jest równa danej liczbie,
• wartość bezwzględna z liczby ujemnej jest równa liczbie do niej
przeciwnej.
Definicja algebraiczna wyraża się następującym wzorem:
x, dla x ≥0
x  -x, dla x<0
Przykłady:
|7|=7, |-3|=3, |0|=0.
W sensie geometrycznym wartość bezwzględna jest miarą
odległości. I tak |a| oznacza odległość na osi liczbowej punktu o
współrzędnej a od punktu 0. Natomiast |a - b| oznacza odległość na
osi liczbowej punktów o współrzędnych a i b.
Własności
Wartość bezwzględna posiada wiele przydatnych własności. Dla
dowolnych liczb rzeczywistych x, y:
1. |x| ≥ 0
2. |x| = |-x |
3. |x + y| ≤ |x| + |y|
4. | x - y | ≥ |x| - |y|
5. ||x| - |y|| ≤ | x + y |
6. ||x| - |y|| ≤ | x - y |
7. |x| = x 2
8. |x| = |y|  x = y lub x = -y.
Ponadto dla a > 0 prawdziwe są związki;
 -a ≤ x ≤ a
1. |x| ≤ a
 -a < x < a
2. |x| < a
3. |x| ≥ a
 x ≤ -a lub x ≥ a
4. |x| > a
 x < -a lub x > a .
Przykładowe zadania
Zadanie 1.
Oblicz x, wiedząc, że: |x| = 0,8.
Rozwiązanie :
|x| = 0,8
x = 0,8 lub x = - 0,8.
Zadanie 2.
Wiemy, że |a|= |b|. Czy liczby a i b muszą być równe?
Rozwiązanie:
Z własności wartości bezwzględnej wiemy, że :
|a| = |-a| i |b| = |-b|.
Stąd jeśli |a| = |b| , to a = b lub a = -b.
Zadanie 3.
Co powiesz o wartości bezwzględnej x, jeżeli wiesz, że x (-5 ; 5) ?
Rozwiązanie:
x  (-5 ; 5) , czyli -5 < x < 5.
Tak więc |x| < 5.
Zadanie 4.
Co powiesz o wartości bezwzględnej x, jeżeli wiesz, że :
x  (-∞ ; -7    7 ; +∞) ?
Rozwiązanie:
x  (-∞ ; -7    7 ; +∞), czyli x ≤ -7 lub x ≥ 7.
Tak więc możemy zapisać, że:
|x| ≥ 7.
Zadanie 5.
Rozwiąż równanie:
|x| - 2x = 4
Rozwiązanie:
Rozpatrujemy dwa przypadki:
I. Gdy x ≥ 0, to |x| = x.
Tak więc nasze równanie ma postać:
x – 2x = 4
x = -4
Ponieważ założyliśmy, że x ≥ 0, więc w tym przypadku równanie nie
ma rozwiązania.
II. Gdy x < 0, to |x| = -x.
Tak więc równanie ma postać:
-x – 2x = 4
-3x = 4
1
x = -1 3
Tu nie ma sprzeczności z założeniem.
1
Ostatecznie rozwiązaniem naszego równania jest tylko liczba -1 3 .
Zadanie 6.
Jakie liczby spełniają nierówność: |x - 2| ≤ 3, gdy x jest liczbą:
a) całkowitą,
b) rzeczywistą.
Rozwiązanie:
Musimy rozważyć dwa przypadki:
I. Gdy x – 2 ≥ 0, czyli x ≥ 2, to |x - 2| = x - 2.
Równanie nasze ma więc postać: x – 2 ≤ 3
x≤5
Otrzymujemy, że: 2 ≤ x ≤ 5.
II. Gdy x – 2 < 0, czyli x < 2, to |x - 2| = - x + 2.
Równanie nasze ma postać: -x + 2 ≤ 3
x ≥ -1
Otrzymujemy, że: -1 ≤ x < 2.
Ostatecznie rozwiązanie naszej nierówności to: -1 ≤ x ≤ 5.
W odniesieniu do punktów a i b zadania mamy:
a) gdy x jest l. całkowitą, to rozwiązaniem są liczby -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5.
b) gdy x jest l. rzeczywistą, to x   -1 ; 5  .
Zadanie 7.
Rozwiąż nierówność:
|x| + |2 - x| < 4
Rozwiązanie:
Rozpatrujemy cztery przypadki:
I. |x| = x
, dla x ≥ 0
i |2 - x| = 2 – x
, dla 2 – x ≥ 0
x≤2
Czyli dla 0 ≤ x ≤ 2 nasza nierówność ma postać:
x+2–x<4
2<4
Tak więc nierówność jest spełniona dla każdego 0 ≤ x ≤ 2.
II. |x| = x
, dla x ≥ 0
i |2 - x| = -2 + x
, dla 2 – x < 0
x>2
Czyli dla x > 2 nierówność ma postać:
x–2+x<4
2x < 6
x<3
Tak więc nasza nierówność jest spełniona dla 2 < x < 3.
III. |x| = -x
, dla x < 0
i |2 - x| = 2 – x
, dla 2 – x ≥ 0
x≤2
Czyli dla x < 0 nasza nierówność ma postać:
-x + 2 – x < 4
-2x < 2
x > -1
Tak więc nierówność jest spełniona dla każdego -1 < x < 0.
IV. |x| = -x
, dla x < 0
i |2 - x| = -2 + x
, dla 2 – x < 0
x>2
Otrzymujemy sprzeczność, gdyż nie możliwe jest, aby
jednocześnie zachodziły warunki: x < 0 i x > 2.
W tym przypadku nierówność nie zachodzi dla żadnego x.
W ten sposób otrzymujemy, że nierówność jest spełniona, gdy
zachodzi pierwszy lub drugi, lub trzeci przypadek, a więc x (-1 ; 3).
Zadanie 8.
Dla każdej trójki liczb rzeczywistych a, b, c (różnych od zera) tworzymy
liczbę: a  b  c  abc
a
b
c
abc
Oblicz, ile może wynosić taka suma.
Rozwiązanie:
Zauważmy, że dla dowolnej liczby rzeczywistej x mamy:
x
1, dla x>0
x
-1, dla x<0

a b c abc
  
Tak więc suma a b c abc
jest sumą liczb 1 lub -1 w różnych
kombinacjach.
Łatwo sprawdzamy, że suma ta może być tylko równa 4 lub 0 lub -4.
Zadania do samodzielnego
rozwiązania
Zadanie 1.
Podaj zbiór rozwiązań następujących równań i nierówności:
a) |x| = 3
b) |x| = -5
c) |x| < 2
d) |x| ≥ 3
e) |x - 1| < 1
Odpowiedzi
Zadanie 2.
Zapisz podane nierówności w skrócony sposób (używając symbolu
wartości bezwzględnej):
a) -2 ≤ a ≤ 2
b) 1 < x < 3
Odpowiedzi
Zadanie 3.
Które z poniższych zdań jest prawdziwe dla dowolnych liczb a, b:
a) jeżeli a = b, to │a│=│b│
b) jeżeli │a│=│b│, to a = b
c) a ≥ │a│
d) a ≤ │a│
Odpowiedzi
Zadanie 4.
Wyrażenie m + │m│ zapisz w najprostszej postaci, nie używając
symbolu wartości bezwzględnej, gdy:
a) m ≥ 0
b) m < 0
Odpowiedzi
Zadanie 5.
Wyrażenie │x│+ │x + 1│ + │x - 2│ zapisz w najprostrzej postaci,
wiedząc, że 1 < x < 2.
Odpowiedź
Zadanie 6.
Rozwiąż następujące równania:
a) │x│- x = 2
b) │x│= 0,5x – 1
Odpowiedzi
Zadanie 7.
Rozwiąż następujące równania. Pamiętaj o rozważeniu wszystkich
przypadków.
a) │2x + 2│= │x│+ 3
b) │x│- 2 = │x + 2│
Odpowiedzi
Zadanie 8.
Rozwiąż podane nierówności:
a) │2x - 3│< 2
b) │0,5x + 1│> 1,5
c) │x - 1│+ x < 1
d) │x│- │x - 1│> 0
Odpowiedzi
Bibliografia
1. Encyklopedia Matematyka pod red. A. Nawrot Sabiak, Greg,
Kraków 2008
2. P. Kosowicz, Słownik Matematyka, Greg, Kraków 2006
3. A. Ehrenfeucht, O. Stande, Algebra, WSiP, Warszawa 1986
4. Z. Krawcewicz, Zadania dla uczniów klas V – VIII uzdolnionych
matematycznie, WSiP, Warszawa 1976
5. Matematyka z wesołym kangurem (Kadet i Junior), Aksjomat,
Toruń 1995