LISTA 2 – ZMIENNE LOSOWE Zad. 1. Dana jest funkcja

LISTA 2 – ZMIENNE LOSOWE
Zad. 1. Dana jest funkcja prawdopodobieństwa zmiennej losowej X:
xi
pi
0
0,1
1
0,4
2
0,4
3
0,1
Wyznaczyć:
a. wykres funkcji prawdopodobieństwa;
b. dystrybuantę i jej wykres.
Obliczyć
a. prawdopodobieństwa: P(X=3), P(X=4), P(X<3), P(X>1), P(0<X≤2),
b. wartość przeciętną, medianę, kwartyle dolny i górny, wariancję i odchylenie standardowe, współczynniki
asymetrii i skupienia.
Zad. 2. Dana jest dystrybuanta zmiennej losowej X:
x
F(x)
(-∞,-2]
0
(-2,1]
0,2
(1,3]
0,8
(3,+∞]
1
Wyznaczyć jej funkcję prawdopodobieństwa.
Zad. 3. Zmienna losowa X ma funkcję prawdopodobieństwa postaci:
xi
pi
-3
0,1
-1
0,2
3
0,5
5
0,2
Wyznaczyć funkcję prawdopodobieństwa zmiennej losowej U, jeśli: (i) U=X3, (ii) U=2X+3, (iii) U=X2-5.
Zad. 4. Zmienna losowa X ma rozkład o gęstości:
dla
 x

f ( x ) =  2 − x dla
 0
dla

0 ≤ x <1
1≤ x < 2
x < 0 lub x ≥ 2
Wyznaczyć:
a. wykres funkcji gęstości;
b. dystrybuantę tego rozkładu i jej wykres.
Obliczyć:
a. prawdopodobieństwa P(X<1,5), P(0,5<X<1,8), P(X>1,1);
b. prawdopodobieństwo zdarzenia A, że w dwóch niezależnych doświadczeniach co najmniej raz zmienna
losowa X przyjmie wartość z przedziału [1,2);
c. wartość przeciętną, medianę, kwartyle dolny i górny, wariancję i odchylenie standardowe, współczynniki
asymetrii i skupienia.
Zad. 5. Niech zmienna losowa X ma gęstość:
−2< x ≤0
 ( x + 2) / 6 dla

f ( x) = − ( x − 4) / 12 dla
0< x≤4

0
dla x ≤ −2 lub x > 4

a zmienna losowa Y gęstość:
−2< x ≤ 2
 ( x + 2) /12 dla

g ( x) = − ( x − 4) / 6 dla
2< x≤4

0
dla x ≤ −2 lub x > 4

Naszkicować wykresy obu gęstości we wspólnym układzie współrzędnych. Obliczyć wartość przeciętną, wariancję
oraz współczynniki asymetrii dla każdego z rozkładów i porównać otrzymane wyniki z asymetrią wykresów
gęstości.
Zad. 6. Dla jakich wartości parametrów a i b funkcja:
0
dla x ≤ −1


f ( x) = a + b arcsin(x) dla − 1 < x ≤ 1

1
dla
x >1

jest:
a. dystrybuantą pewnej zmiennej losowej;
b. dystrybuantą zmiennej losowej typu ciągłego;
c. dystrybuantą zmiennej losowej typu skokowego.
Zad. 7. Zmienna losowa X ma rozkład o dystrybuancie:
dla
x≤0
 0
 0 ,1 + x dla
0 < x ≤ 0 ,5

F ( x) = 
 0 , 4 + x dla 0 ,5 < x ≤ 0 ,55
 1
dla
x > 0 ,55
Wyznaczyć P(X=0,5), P(0≤X<0,5), P(0,25<X≤0,5).
Zad. 8. Zmienna losowa X ma rozkład o gęstości:
a)
a
f ( x) = 
0
dla
dla
x ∈ [ 0; b )
x ∉ [ 0; b )
b)
 ax
f ( x) = 
0
dla
dla
x ∈ [ 0; b )
x ∉ [ 0; b )
Obliczyć parametr a. Wyznaczyć i wykreślić dystrybuantę.
Zad. 9. Dobrać stałą A tak, aby funkcja:
 A ( x − 1) dla x ∈ [ 0;1]
f ( x) = 
0
dla x ∉ [ 0;1]

była gęstością pewnej zmiennej losowej X. Wyznaczyć i wykreślić dystrybuantę tej zmiennej i obliczyć
P(0,5<X<2).