Ćwiczenia z Algebry liniowej z geometrią. I rok matematyki. Zestaw

Ćwiczenia z Algebry liniowej z geometrią. I rok matematyki.
Zestaw 9
1. Dane są dwa układy współrzędnych {A, (e1 , e2 , e3 )} oraz {B, (e1 , e2 , e3 )},
gdzie A(3, −1, 0), B(1, 2, 1), a ciąg (e1 , e2 , e3 ) jest bazą kanoniczną przestrzeni liniowej R3 . Znajdź zależności między współrzędnymi x1 , x2 , x3 punktu P
w pierwszym układzie współrzędnych, a współrzędnymi x01 , x02 , x03 punktu P
w drugim układzie współrzędnych.
2. W przestrzeni afinicznej R2 zadane są dwa układy współrzędnych
{A, (e1 , e2 )} oraz {A, (g(e1 ), g(e2 ))}, gdzie g oznacza obrót wokół początku układu o kąt α. Znajdź zależność między współrzędnymi x1 , x2 punktu P
w pierwszym układzie współrzędnych, a współrzędnymi x01 , x02 punktu P w
drugim układzie współrzędnych.
3. Znajdź współrzędne punktu P (3, i, 2, 0) przestrzeni afinicznej C4 w
układzie współrzędnych {A, (e1 , e2 , e3 , e4 )}, gdzie A(2, 0, 3, 0), e1 = (1, 1, 1, 1),
e2 = (1 − i, 2, 1, 0), e3 = (0, −i, 1, 2), e4 = (0, 0, 0, 1).
4. W przestrzeni afinicznej R3 zadano układ współrzędnych {A, (e1 , e2 , e3 )},
gdzie A(3, 2, 1), e1 = (2, 0, 1), e2 = (−1, 1, 3), e3 = (4, 7, −2). Znajdź punkt
tej przestrzeni, którego współrzędne wynoszą x1 = 1, x2 = 0, x3 = −2.
5. W przestrzeni afinicznej R3 zadano układ współrzędnych {A, (e1 , e2 , e3 )},
gdzie A(3, 2, 1), (e1 , e2 , e3 ) jest bazą kanoniczną przestrzeni liniowej R3 . Sprawdź,
czy punkt P (2, 4, −1) należy do prostej: x1 = 3 − 2t, x2 = 1 + t, x3 = t, gdzie
t ∈ R.
6. Napisz równanie parametryczne podprzestrzeni liniowej
(a) wymiaru 3 w przestrzeni afinicznej R5 ,
(b) wymiaru 1 w przestrzeni afinicznej R2 ,
(c) wymiaru 1 w przestrzeni afinicznej R3 ,
(d) wymiaru 2 w przestrzeni afinicznej R3 .
7. Dane jest równanie parametryczne podprzestrzeni dwuwymiarowej w
przestrzeni afinicznej R3 : x1 = 2t − s, x2 = 1 + 3t, x3 = −3 + s. Napisz równanie zwyczajne podanej hiperpłaszczyzny.