Model ryzyka lacznego i jego charakterystyki

Model ryzyka łącznego i jego
charakterystyki
Matematyczne podstawy teorii
ryzyka i ich zastosowanie
R. Łochowski
Model ryzyka łącznego
– rozkłady łącznej wartości szkód
• Łączna wartość szkód wyraża się wzorem
X = Y1 + Y2 + + YN
• Wartości poszczególnych szkód Y1 , Y2 , Y3 ,... dla
wszystkich ryzyk w portfelu są nawzajem
niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym
rozkładzie
• N jest zmienną losową o rozkładzie dyskretnym
(np. o rozkładzie Poissona, dwumianowym lub
ujemnym dwumianowym), niezależną od
wartości szkód Y1 , Y2 , Y3 ,...
Model ryzyka łącznego
– podstawowe charakterystyki
• Wartość oczekiwana łącznej wartości szkód
EX = E (Y1 + Y2 + + YN )
= E (E (Y1 + Y2 + + YN | N ) )
= E (E (Y1 | N ) + E (Y1 | N ) + + E (YN | N ) )
= E ( N ⋅ E (Y1 ) ) = E ( N ) E (Y1 )
• Ze wzoru na dekompozycję wariancji
(
)
D2 ( X ) = E D2 ( X | N ) + D2 (E ( X | N ) )
Model ryzyka łącznego
– podstawowe charakterystyki, c. d.
• Oznaczmy µY = E (Y1 ) . Ponieważ
E ( X | N ) = N ⋅ µY
więc otrzymujemy
D2 (E ( X | N ) ) = D2 ( N ⋅ µY ) = µY 2D2 ( N )
• Ile wynosi E (D2 ( X | N ) ) ?
D
2
(( X − N µ ) | N = n)
Y − nµ ) = E ( ∑ (Y − µ ) )
(X | N
=E
(∑
n
i =1
2
= n) = E
2
i
= n ⋅ D2 (Y )
Y
Y
2
n
i =1
i
Y
Model ryzyka łącznego
– podstawowe charakterystyki, c. d.
• Zatem D2 ( X | N ) = N ⋅ D2 (Y )
• Ostatecznie
(
)
D 2 ( X ) = E D 2 ( X | N ) + D 2 (E ( X | N ) )
= EN ⋅ D
2
2
(Y ) + D ( N ) ⋅ (E Y )
2
• Zadanie: porównać wariancję łącznej wartości
szkód, gdy N ma rozkład Poissona, ujemny
dwumianowy i dwumianowy z wariancją, gdy
N jest deterministyczne, równe wartościom
oczekiwanym powyższych rozkładów.
Funkcja generująca kumulanty
rozkładu złożonego
• Rozkład zmiennej X równej łącznej wartości
szkód nazywa się rozkładem złożonym
• Jak policzyć momenty wyższych rzędów i
kumulanty rozkładu złożonego?
• Mamy
(( (
) ))
) = E (exp ( N iln (E exp (tY ))))
M X ( t ) = E ( exp ( tX ) ) = E E exp t ∑ i =1 Yi | N
(
= E (E exp ( tY1 ) )
(
N
= E exp ( N iCY ( t ) )
N
1
)
Funkcja generująca kumulanty
rozkładu złożonego
• Wniosek:
(
)
C X ( t ) = ln E exp ( N iCY ( t ) ) = C N ( CY ( t ) )
• Funkcja generująca kumulanty rozkładu
złożonego jest złożeniem funkcji
generujących kumulanty!
• Kumulanty wyższych rzędów rozkładu
złożonego obliczymy więc z formuły
c n, X = C X
( n)
( n) 

(0 ) =  CN (CY (t ) ) 

t =0
(
)
Kumulanty rozkładu złożonego
• Zachodzą formuły
µ X = µN i µY ,
σ X 2 = σ N 2 i µY 2 + µN iσ Y 2 ,
3
2
2
µ3, X = µ3,N i µY + 3iσ N i µY iσ Y + µN i µ3,Y ,
c4, X = c4, N i µY 4 + 6i µ3,N i µY 2 iσ Y 2 + 4iσ N 2 i µY i µ3,Y
2
4
+3iσ N iσ Y + µN ic4,Y
• Zadanie: wyprowadzić powyższe wzory dla
wartości oczekiwanej i wariancji
Złożony rozkład Poissona
• Gdy zmienna N ma rozkład Poissona, wówczas
rozkład zmiennej X nazywa się złożonym
rozkładem Poissona (CPD) o parametrach (λ , FY ),
gdzie λ = EN zaś FY jest dystrybuantą
rozkładu zmiennej Y
• Funkcja generująca kumulanty CPD
C X ( t ) = C N ( CY ( t ) )
(
)
= λ exp ( CY ( t ) ) − 1 = λ ( MY ( t ) − 1) ,
gdzie MY jest FGM rozkładu zmiennej Y
Kumulanty złożonego rozkładu
Poissona
• W przypadku złożonego rozkładu Poissona
zachodzi
n


d
( n)
cn, X = CX ( 0) =  n λ MY ( t ) − 1 
 dt
t = 0
( (
(
= λ MY
( n)
))
)
n
0
=
λ
i
m
=
λ
i
E
Y
, n = 1,2,...
( )
n,Y
w szczególności
µ X = λ i µY ,
σ X = λ im2,Y = λ i(σ Y + µY
2
2
2
)
Twierdzenie o dodawaniu dla
złożonego rozkładu Poissona
• Niech X1 , X 2 ,..., X n będą niezależnymi
zmiennym o złożonych rozkładach Poissona z
parametrami ( λ1 , F1 ) , ( λ2 , F2 ) ,..., ( λn , Fn )
• Niech S = X1 + X 2 + ... + X n , wówczas
C S ( t ) = C X1 ( t ) + ... + C X n ( t )
= λ1 ( M1 ( t ) − 1) + ... + λn ( Mn ( t ) − 1)
λn
 λ1

= λ  M1 ( t ) + ... +
Mn ( t ) − 1 
λ
λ

gdzie
λ = λ1 + λ2 + ... + λn
Twierdzenie o dodawaniu dla
złożonego rozkładu Poissona, c. d.
• Twierdzenie: Suma niezależnych zmiennych o
złożonym rozkładzie Poissona z parametrami
( λ1 , F1 ) , ( λ2 , F2 ) ,..., ( λn , Fn ) ma również
złożony rozkład Poissona z parametrami ( λ , F ) ,
gdzie
λ1
λn
λ = λ1 + ... + λn, F ( t ) = F1 ( t ) + ... + Fn ( t )
λ
λ
• Pytanie: czy da się sformułować analogiczne
twierdzenie dla złożonych rozkładów –
dwumianowego i ujemnego dwumianowego?
Twierdzenie o dodawania CPD uzasadnienie
• Dla zmiennej X o dystrybuancie FX zachodzi
wzór
M X (t ) =
∫
+∞
−∞
e f X ( x ) dx = ∫
xt
+∞
−∞
e xt dFX ( x )
• Jeżeli F1 , F2 ,..., Fn są dystrybuantami,
n
wówczas ich kombinacja wypukła ∑ i =1 α i Fi jest
dystrybuantą pewnej zmiennej Y i zachodzi
∫
d (∑
MY ( t ) =
∫
+∞
−∞
=
e
∑
yt
+∞
n
i =1
−∞
αi ∫
e yt dFY ( y ) =
n
i =1
+∞
−∞
)
α i Fi ( y ) = ∫
e dFi ( y ) =
yt
+∞
−∞
∑
e
yt
n
i =1
(∑
n
i =1
α i dFi ( y )
α i Mi ( t )
)
Twierdzenie o dodawaniu dla innych
rozkładów złożonych
• X – złożony rozkład dwumianowy, wówczas
C X ( t ) = C N ( CY ( t ) ) = m ln (1 − p + pMY ( t ) ) ,
gdzie N ~ Bin ( m, p )
• X1 , X 2 ,..., X n - złożone rozkłady dwumianowe
C X1 +...+ X n ( t ) =
∑
n
i =1
mi ln (1 − p + pMi ( t ) ),
• Zachodzi słaba wersja twierdzenia o
dodawaniu, gdy p1 = ... = pn , M1 = ... = Mn
• Zadanie: sformułować słabą wersję
twierdzenia o dodawaniu dla N ~ NegBin ( r , q )