Równania, nierówności i układy równań Zad. 1. Czy istnieje liczba

Równania, nierówności i układy równań
Zad. 1.
Czy istnieje liczba 𝑥, która spełnia oba równania?
1
3
(𝑥 + 12) + 6 =
2𝑥+5
6
1
+ 96
7 = 8(𝑥 + 4) − 5(𝑥 − 6)
Zad. 2.
Rozwiąż nierówność.
3x – 2(x – 2) ≥ 3(x – 4) – 2(2 – 3x)
a) Wypisz wszystkie liczby naturalne należące do zbioru jej rozwiązań.
b) Ile liczb całkowitych większych od – 3 należy do zbioru rozwiązań?
c) Podaj najmniejszą liczbę parzystą, która nie spełnia tej nierówności.
Zad. 3.
Jakie liczby należy wstawić w miejsce kropek w podanym układzie równań, aby otrzymać układ
spełniony przez parę x = 8 i y = − 2
x + 7y = ……
2(x + y) – 5 = …..
Zad. 4.
Półfinał konkursu matematycznego składał się z czterech testów. Janek za trzy kolejne testy
otrzymał: 26, 35 i 28 punktów. Ile punktów powinien uzyskać za czwarty test, aby dostać się
do finału, jeśli średnia arytmetyczna liczby punktów wszystkich testów musi być większa niż 32?
Zad. 5.
Kasia i Małgosia oszczędzają pieniądze. Kasia ma 400 zł, a Małgosia – o 70zł mniej. Dziewczęta
postanowiły co tydzień odkładać pewną kwotę: Kasia 30 zł, a Małgosia 40 zł. Po ilu tygodniach
oszczędności Małgosi przewyższą oszczędności Kasi? Zapisz obliczenia.
Zad. 6.
W pewnej restauracji stosunek liczby stolików dwuosobowych do liczby stolików czteroosobowych
wynosi 3 : 5. Oblicz, ile jest stolików dwuosobowych, a ile czteroosobowych, jeśli wiadomo,
że w restauracji przy wszystkich stolikach może usiąść 156 osób?
Zad. 7.
Ewa jest trzy razy starsza od Adama. Za sześć lat będzie dwa razy starsza od Adama.
Ile lat ma teraz Adam? Zapisz obliczenia.
Zad. 8.
Pręt o długości 2 m podzielono na trzy pręty, z których drugi jest dwukrotnie dłuższy niż pierwszy,
a trzeci o 40 cm krótszy niż pierwszy. Sprawdź czy z prętów tych można zbudować trójkąt.
Zad. 9.
Dwie grupy szkolne wybrały się do muzeum. Pierwsza grupa kupując 2 bilety normalne
i 15 ulgowych zapłaciła 66 złotych. Druga grupa zapłaciła za 3 bilety normalne i 20 ulgowych
90 złotych. W jakiej cenie są bilety do tego muzeum? Ile procent ceny biletu normalnego wynosi
zniżka? Zapisz obliczenia.
Zad. 10.
Wiedząc, że przedstawiony na rysunku trójkąt jest równoboczny, oblicz długość jego boku.
(b + 2) cm
(a + 4) cm
(4a – b) cm
Zad. 11.
Liczbę 11988 zapisz jako sumę sześciu liczb nieparzystych.
Zad. 12.
Licznik pewnego ułamka jest połową jego mianownika. Jeśli licznik zwiększymy o 2, a mianownik
2
zmniejszymy o 2, otrzymamy 3. Wyznacz ten ułamek.
Zad. 13.
Obwód prostokąta jest równy 48 cm. Jeżeli jeden bok zwiększymy o 25%, a drugi zmniejszymy
o 6 cm, to otrzymamy kwadrat. Oblicz pole tego kwadratu. Zapisz obliczenia.
Zad. 14.
Do pracowni matematycznej kupiono modele brył − 9 graniastosłupów i 5 ostrosłupów.
Koszt ich zakupu wyniósł 495 zł. Model ostrosłupa był o 15 zł droższy od modelu graniastosłupa.
Ile kosztuje model graniastosłupa, a ile ostrosłupa? Zapisz obliczenia.
Zad. 15.
Uczniowie wykonali 22 modele prostopadłościanów i czworościanów, które miały razem
148 wierzchołków. Ile prostopadłościanów wykonali uczniowie? Zapisz obliczenia.
Zad. 16.
W skarbonce są jedynie monety 2 zł i 5 zł, razem 15 monet. W sumie mają wartość 69 zł.
Ile jest monet każdego rodzaju? Zapisz obliczenia.
Zad. 17.
Chłopiec zbierał pieniądze na wycieczkę. Okazało się, że w skarbonce miał 41 banknotów
50 – złotowych i 20 − złotowych oraz 125 zł w bilonie. W sumie miał 1 245 zł. Ile banknotów
o nominale 50 zł, a ile o nominale 20 zł było w skarbonce? Zapisz obliczenia.
Zad. 18.
Pręt zbrojeniowy o długości 28 m zgięto pod kątem prostym w taki sposób, że stosunek długości
jednej części do drugiej jest równy 3 : 4. Oblicz odległość między końcami tego pręta po zgięciu.
Zapisz obliczenia.
Zad. 19.
Ania i Bogdan ważą razem 70 kg. Gdyby Ania przytyła 4 kg, a Bogdan 3 kg schudł, to oboje
ważyliby tyle samo. Ile waży Ania, a ile Bogdan? Zapisz obliczenia.
Zad. 20.
W trójkącie prostokątnym różnica miar kątów ostrych wynosi 50° . Oblicz miary kątów tego
trójkąta.
Odpowiedzi:
1
1. Oba równania spełnia liczba (−18 3), pierwsze równanie jest tożsamościwe
2. x ≤ 2,5, a) 0, 1 i 2 , b) pięć liczb, c)4
3. – 6 i 7
4. Co najmniej 40 pkt.
5. Po 8 tygodniach
6. 18 pokoi dwuosobowych i 30czterosobowych
7. 6 lat
8. 0,6 m; 1,2 m i 0,2 m. Nie można.
9. Cena normalnego biletu – 6 zł, ulgowego - 3,60 zł. Ulga wynosi 40%.
10. 7 cm
11. 1993, 1995, 1997, 1999, 2001, 2003
10
12. 20
13. 100 cm2
14. 30 zł model graniastosłupa, 45 zł model ostrosłupa
15. 15 prostopadłościanów
16. 2 monety 2 zł i 13 – 5 zł
17. 10 banknotów 50 zł i 31 banknotów 20 zł
18. 20 m
19. Ania – 31,5 kg, Bogdan – 38,5 kg
20. 70° i 20°