08.03.2011 r. Zadanie 1. Niech (f będzie nierosnącym ciągiem

08.03.2011 r.
Zadanie R1. Niech (fn )∞
ciągiem
funkcji mierzalnych fn : X → R+
n=1 będzie nierosnącym
R
R
takim, że X f1 < +∞. Pokazać, że lim X fn = X lim fn
n→∞
n→∞
Zadanie 2. Niech f : X → R będzie funkcją mierzalną, taką że
niech An := f −1 ([n, n + 1)). Wykazać, że
∞
X
R
X
f dµ < +∞. Dla n ∈ N
nµ(An ) < +∞.
n=1
Zadanie 3. Niech X = ([0, 1], L[0,1] , λ) będzie
przestrzenią probabilistyczną i niech X : X →
πx
R będzie zadana wzorem X(t) := sin 2 . Znaleźć rozkład prawdopodobieństwa zmiennej
losowej X, tzn. miarę µX = λ ◦ X −1 (napisać wzór). Zneleźć funkcję gęstości gX dla
R 1 tego
rozkładu.
Obliczyć wartość oczekiwaną EX na dwa sposoby, tj. obliczając całki 0 X dλ
R
oraz R tgX (t) dλ(t).
R1
Zadanie 4. Niech f : [0, 1] → R będzie ograniczona. Obliczyć lim 0 xn f (x) dx.
n→∞
R∞
xm
ex −1
dx wykorzystując twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności
n
P
m
e−kx .
,
gdzie
f
:
R
→
R
dany
jest
wzorem
f
(x)
:=
x
monotonicznej i ciąg (fn )∞
n
+
n
n=1
Zadanie 5. Obliczyć całkę
0
k=1
Zadanie 6. Niech f : R2 → R będzie dana wzorem

dla x − 1 < y < x;
 1,
−1, dla x < y < x + 1;
f (x, y) :=

0,
w pozostałych punktach.
Wykazać,
że f nie jest całkowalna na R2 . Obliczyć całki iterowane
R
R
dy R f (x, y) dx.
R
R
R
dx
R
R
f (x, y) dy,
Zadanie 7. Niech X oznacza odcinek [0, 1] z miarą Lebesgue’a λ, zaś Y będzie odcinkiem
[0, 1] z miarą liczącą µ. Niech f : X × Y → R będzie dana wzorem
1, dla x = y;
f (x, y) :=
0, dla x 6= y.
R
R
R
R
Obliczyć całki iterowane X dλ Y f (x, y) dµ oraz Y dµ X f (x, y) dλ. Czy f jest całkowalna
na X × Y względem miary λ ⊗ µ.
R∞
Zadanie 8. * Korzystając z twierdzenia Fubiniego i równości x1 = 0 e−tx dt wykazać, że
Z ∞
sin x
π
dx = .
x
2
0
1
Zadanie 9. * Wykazać równość
v
u n k
uY
1
n
1+
lim t
= e.
n→∞
k
k=1
R∞
Wskazówka: Wychodząc od równości 0 e−x dx = 1 policzyć lewą stronę jako granicę całek
z funkcji prostych, tj.
Z ∞
Z ∞
−x
fn (x) dx,
e dx = lim
0
gdzie fn (x) :=
n
P
k=1
k−1
χAkn (x)
n
n→∞
i Akn := x ∈ R :
2
0
k−1
n
< e−x ≤
k
n
.