1. Liczby zespolone ( ) j

1. Liczby zespolone
Definicja 1.1
Liczbę postaci z = x + y ⋅ j , gdzie x, y ∈ R oraz j = − 1 , nazywamy liczbą
zespoloną. Liczbę j nazywamy jednostką urojoną. Postać z = x + y ⋅ j nazywamy
postacią algebraiczną liczby zespolonej.
Definicja 1.2
Niech z = x + y ⋅ j . Wówczas
→ liczbę x nazywamy częścią rzeczywistą liczby zespolonej z , co zapisujemy
Re z = x ,
→ liczbę y nazywamy częścią urojoną liczby zespolonej z , co zapisujemy
Im z = y .
Definicja 1.3
Liczbę zespoloną z określoną wzorem
z = x− y⋅ j
nazywamy sprzęŜeniem liczby zespolonej z = x + y ⋅ j . Mówimy teŜ, Ŝe z jest liczbą
sprzęŜoną do z .
Przykład 1.1
2 + 3 j = 2 − 3 j , 1− j = 1+ j ,
j = − j , − 2 = −2 .
Wprowadzimy teraz działania na liczbach zespolonych
Dodawanie liczb zespolonych
Niech z1 = x1 + y1 ⋅ j , z 2 = x 2 + y 2 ⋅ j . Wtedy
z1 + z 2 = ( x1 + x 2 ) + ( y1 + y 2 ) ⋅ j
Przykład 1.2
(1 + 2 j ) + (2 + 3 j ) = (1 + 2) + (2 + 3) j = 3 + 5 j ,
(1 + j ) + (1 − j ) = 2 , (1 + j ) + (− 1 + j ) = 2 j .
Odejmowanie liczb zespolonych
Niech z1 = x1 + y1 ⋅ j , z 2 = x 2 + y 2 ⋅ j . Wtedy
z1 − z 2 = ( x1 − x 2 ) + ( y1 − y 2 ) ⋅ j
Przykład 1.3
(1 + 2 j ) − (2 + 3 j ) = (1 − 2) + (2 − 3) j = −1 − j ,
(1 + j ) − (1 − j ) = 2 j , (1 + j ) − (− 1 + j ) = 2 .
MnoŜenie liczb zespolonych
Niech z1 = x1 + y1 ⋅ j , z 2 = x 2 + y 2 ⋅ j . Wtedy
z1 ⋅ z 2 = ( x1 x 2 − y1 y 2 ) + ( x1 y 2 + x 2 y1 ) ⋅ j
Przykład 1.4
(1 + 2 j ) ⋅ (2 + 3 j ) = (1 ⋅ 2 − 2 ⋅ 3) + (1 ⋅ 3 + 2 ⋅ 2) j = −4 + 7 j ,
(1 + j ) ⋅ (1 − j ) = 2 , (1 + j ) ⋅ (− 1 + j ) = −2 .
Dzielenie liczb zespolonych
Niech z1 = x1 + y1 ⋅ j , z 2 = x 2 + y 2 ⋅ j . Wtedy
z1 z1 ⋅ z 2
=
z2 z2 ⋅ z2
Przykład 1.5
1 + 2 j (1 + 2 j ) ⋅ (2 − 3 j ) 8 + j 8 1
=
=
= +
j,
2 + 3 j (2 + 3 j ) ⋅ (2 − 3 j )
13
13 13
1 + j (1 + j ) ⋅ (1 + j ) 2 j
=
=
= j,
1 − j (1 − j ) ⋅ (1 + j ) 2
1+ j
(1 + j ) ⋅ (−1 − j ) = − 2 j = − j .
=
− 1 + j (− 1 + j ) ⋅ (− 1 − j )
2
Definicja 1.4
Modułem liczby zespolonej z = x + y ⋅ j nazywamy liczbę rzeczywistą z
określoną wzorem
z = x2 + y2
Przykład 1.6
z = −1 + 3 j ,
z = (−1) 2 + 3 2 = 10 ,
z = −j,
z = 0 2 + (−1) 2 = 1 ,
− 5 − 12 j = (−5) 2 + (−12) 2 = 169 = 13 .
Definicja 1.5
Argumentem liczby zespolonej z = x + y ⋅ j nazywamy liczbę rzeczywistą ϕ
spełniającą układ równań
x

cos ϕ = z

y
 sin ϕ =
z

Argumentem głównym liczby zespolonej z nazywamy argument ϕ tej liczby spełniający
nierówności 0 ≤ ϕ < 2π . Argument główny liczby zespolonej z oznaczamy symbolem arg z .
KaŜdy argument ϕ liczby zespolonej z ma postać
ϕ = arg z + 2kπ ,
gdzie k ∈ Z ( k = 0, ± 1, ± 2, ... .)
Przykład 1.7
z = −1 + j ,
z = 2,
z = 2,
z = 2,
z = −j,
z = 1,
Definicja 1.6
WyraŜenie postaci
−1

cos ϕ = 2

1
 sin ϕ =

2
cos ϕ = 1

sin ϕ = 0
 cos ϕ = 0

sin ϕ = −1
ϕ = 34 π + 2kπ ,
arg z = 34 π ,
ϕ = 0 + 2kπ ,
arg z = 0 ,
ϕ = 32 π + 2kπ ,
arg z = 32 π .
z = r ⋅ (cos ϕ + j sin ϕ )
gdzie r = z jest modułem liczby zespolonej z , a ϕ jest argumentem tej liczby, nazywamy
postacią trygonometryczną liczby zespolonej.
Przykład 1.8
z = −1 + j ,
z = 2,
z = −j,
z = 2 ⋅ (cos 34 π + j sin 34 π ) ,
z = 2 ⋅ (cos 0 + j sin 0) ,
z = cos 32 π + j sin 32 π .
Twierdzenie 1.1
JeŜeli z1 = r1 ⋅ (cos ϕ1 + j sin ϕ1 ) , z 2 = r2 ⋅ (cos ϕ 2 + j sin ϕ 2 ) , to
z1 ⋅ z 2 = r1 r2 ⋅ [cos(ϕ1 + ϕ 2 ) + j sin (ϕ1 + ϕ 2 )] ,
z1 r1
= ⋅ [cos(ϕ1 − ϕ 2 ) + j sin (ϕ1 − ϕ 2 )] .
z 2 r2
Potęgowanie liczb zespolonych
Niech z = r ⋅ (cos ϕ + j sin ϕ ) oraz n ∈ N . Wtedy
z n = r n ⋅ (cos nϕ + j sin nϕ ) .
PowyŜszy wzór nosi nazwę wzoru de Moivre’a.
Przykład 1.9
z = −1 + j ,
z = 2 ⋅ (cos 34 π + j sin 34 π ) ,
z = 2,
z = 2 ⋅ (cos 0 + j sin 0) ,
z = −j,
z = cos 32 π + j sin 32 π ,
z 4 = 4 ⋅ (cos 3π + j sin 3π ) = −4 ,
z 3 = 8 ⋅ (cos 0 + j sin 0 ) = 8 ,
z 5 = 1 ⋅ (cos 152 π + j sin 152 π ) = − j .
Z wzoru de Moivre’a wynika zaleŜność
n
cos nϕ + j sin nϕ = (cos ϕ + j sin ϕ ) .
Przyjmując n = 2 mamy
2
cos 2ϕ + j sin 2ϕ = (cos ϕ + j sin ϕ ) = cos 2 ϕ − sin 2 ϕ + j ⋅ 2 sin ϕ cos ϕ ,
skąd otrzymujemy znane wzory
cos 2ϕ = cos 2 ϕ − sin 2 ϕ ,
sin 2ϕ = 2 sin ϕ cos ϕ .
Przyjmując n = 3 mamy
3
cos 3ϕ + j sin 3ϕ = (cos ϕ + j sin ϕ ) = cos 3 ϕ − 3 cos ϕ sin 2 ϕ + j ⋅ 3 cos 2 ϕ sin ϕ − sin 3 ϕ ,
skąd otrzymujemy wzory
cos 3ϕ = cos 3 ϕ − 3 cos ϕ sin 2 ϕ ,
sin 3ϕ = 3 cos 2 ϕ sin ϕ − sin 3 ϕ .
(
)
Pierwiastkowanie liczb zespolonych
Niech z = r ⋅ (cos ϕ + j sin ϕ ) oraz n ∈ N . Zbiór pierwiastków stopnia n z liczby
zespolonej z jest postaci
ϕ + 2kπ
ϕ + 2kπ 

z k = n r ⋅  cos
+ j sin

n
n


gdzie k = 0,1, K , n − 1 .
Przykład 1.10
z = 2j,
n = 3,
z = 2 ⋅ (cos π2 + j sin π2 ) ,
z 0 = 3 2 ⋅ (cos π6 + j sin π6 ) = 3 2 ⋅
(
3
2
(
z1 = 3 2 ⋅ (cos 56π + j sin 56π ) = 3 2 ⋅ −
z 2 = 3 2 ⋅ (cos 96π + j sin 96π ) = − 3 2 j
z = −1 ,
n = 4,
)
+ 12 j ,
3
2
)
+ 12 j ,
z = cos π + j sin π ,
2
2
+ j
,
2
2
2
2
=−
+ j
,
2
2
2
2
=−
−j
,
2
2
2
2
=
−j
.
2
2
z 0 = cos π4 + j sin π4 =
z1 = cos 34π + j sin 34π
z 2 = cos 54π + j sin 54π
z 3 = cos 74π + j sin 74π
Definicja 1.7
Niech ϕ ∈ R . Liczbę zespoloną cos ϕ + j sin ϕ oznaczamy symbolem e jϕ , gdzie
e ≈ 2,72 - stała Eulera, czyli
e jϕ = cos ϕ + j sin ϕ .
Przykład 1.11
e
j
π
2
= cos π2 + j sin π2 = j ,
e jπ = cos π + j sin π = −1 .
Twierdzenie 1.2
Niech x ∈ R . Wtedy zachodzą wzory
e jx + e − jx
e jx − e − jx
cos x =
, sin x =
.
2
2j
Przykład 1.12
2
 e jx − e − jx
sin x = 
2j


e 2 jx + e − 2 jx − 2 1 − 2 cos 2 x
 =
=
,
−4
2

 e jx + e − jx
cos x = 
2


e 2 jx + e − 2 jx + 2 1 + 2 cos 2 x
 =
=
.
4
2

2
2
2
Definicja 1.8
WyraŜenie postaci
z = r ⋅ e jϕ
gdzie r = z jest modułem liczby zespolonej z , a ϕ jest argumentem tej liczby, nazywamy
postacią wykładniczną liczby zespolonej.
Przykład 1.13
3π
j
4
z = −1 + j ,
z = 2 ⋅e
z = 2,
z = 2⋅e ,
z = −j,
z=e
,
0j
3π
j
2
.
Uwaga 1.1
UŜywa się takŜe symbolu ‘exp’ . Wtedy mamy
e jϕ = exp[ jϕ ] = cos ϕ + j sin ϕ .
Wobec powyŜszego moŜemy zapisać
z = 2 ⋅e
z=e
3π
j
4
3π
j
2
= 2 exp[ 34 jπ ] ,
= exp[ 32 jπ ].
Uwaga 1.2
Niech z = r ⋅ e jϕ oraz n ∈ N . Zbiór pierwiastków stopnia n z liczby zespolonej z
jest postaci
ϕ + 2kπ 
z k = n r ⋅ exp 
j ,
 n

gdzie k = 0,1, K , n − 1 .
Przykład 1.14
z = 2j,
n = 3,
z 0 = 3 2 ⋅ exp[π6 j ] ,
z = 2 ⋅ exp[π2 j ],
z1 = 3 2 ⋅ exp[56π j ] ,
z 2 = 3 2 ⋅ exp[32π j ].