Pierwiastek wielomianu.
Twierdzenie Bezoute’a
Definicja 1
• Pierwiastkiem wielomianu W(x) nazywamy
liczbę rzeczywistą a, dla której W(a)=0.
Przykład 1
• Dany jest wielomian:
W(x) 2 x x 5x 2 x 2
4
3
2
• Z podanych niżej przykładowych liczb ze
zbioru, sprawdzimy, czy któraś z nich jest
pierwiastkiem tego wielomianu.
{ 1, 1, 2 , 3 }
• Obliczamy:
W (1) 2 (1) 4 (1)3 5 (1) 2 2 (1) 2 2 1 5 2 2 6 6 0
W (1) 2 14 13 5 12 2 1 2 2 1 5 2 2 2
W ( 2 ) 2( 2 ) 4 ( 2 )3 5( 2 ) 2 2 2 2 8 2 2 10 2 2 2 0
W (3) 2 34 33 5 32 2 3 2 162 27 45 6 2 140
•
Liczby 1 i
wielomianu.
2 są pierwiastkami danego
Wielomian stopnia zerowego nie ma pierwiastków.
W przypadku wielomianu zerowego każda liczba
rzeczywista jest jego pierwiastkiem.
Przykład 2
• Wyznaczymy pierwiastki wielomianu:
W ( x) x(2 x 4)( x 3)( x 2 5)
• Szukamy argumentów, dla których W(x)=0. Wartość wielomianu W(x) jest
równa zeru tylko wtedy, gdy co najmniej jeden z tych czynników jest równy
zeru, zatem:
x 0 2x - 4 0 x 3 0 x 2 5 0
x 0 x 2 x -3
(równanie x 2 5 0 jest sprzeczne)
Wielomian osiąga wartość zero dla argumentów 2, -3 oraz 0.
Wielomian W(x) ma trzy pierwiastki: 2, -3 oraz 0.
Twierdzenie 1 (Bezouta)
I. Jeśli liczba a jest pierwiastkiem wielomianu
W(x), to wielomian W(x) jest podzielny przez
dwumian (x-a).
II. Jeśli wielomian W(x) jest podzielny przez
dwumian (x-a), to liczba a jest pierwiastkiem
wielomianu W(x).
Przykład 3
• Nie wykonując dzielenia, zbadamy, czy
wielomianW ( x) x 3 4 x 7 x 14
jest podzielny przez dwumiany: (x-2) oraz (x+1).
•
Obliczamy:
W (2) 23 4 2 7 2 14 0
W (1) (1) 4 (1) 7 (1) 14 18
3
Liczba 2 jest pierwiastkiem wielomianu W(x), zaś liczba -1 nie jest
pierwiastkiem tego wielomianu. Zatem W(x) jest podzielny przez dwumian
x-2 i nie jest podzielny przez x+1.
Twierdzenie 2
• Liczba pierwiastków niezerowego wielomianu
W(x) jednej zmiennej rzeczywistej jest nie
większa niż stopień wielomianu W(x).
