Pierwiastek wielomianu. Twierdzenie Bezouta

Pierwiastek wielomianu.
Twierdzenie Bezoute’a
Definicja 1
• Pierwiastkiem wielomianu W(x) nazywamy
liczbę rzeczywistą a, dla której W(a)=0.
Przykład 1
• Dany jest wielomian:
W(x)  2 x  x  5x  2 x  2
4
3
2
• Z podanych niżej przykładowych liczb ze
zbioru, sprawdzimy, czy któraś z nich jest
pierwiastkiem tego wielomianu.
{  1, 1, 2 , 3 }
• Obliczamy:
W (1)  2  (1) 4  (1)3  5  (1) 2  2  (1)  2  2  1  5  2  2  6  6  0
W (1)  2 14  13  5 12  2 1  2  2  1  5  2  2  2
W ( 2 )  2( 2 ) 4  ( 2 )3  5( 2 ) 2  2 2  2  8  2 2  10  2 2  2  0
W (3)  2  34  33  5  32  2  3  2  162  27  45  6  2  140
•
Liczby  1 i
wielomianu.
2 są pierwiastkami danego
Wielomian stopnia zerowego nie ma pierwiastków.
W przypadku wielomianu zerowego każda liczba
rzeczywista jest jego pierwiastkiem.
Przykład 2
• Wyznaczymy pierwiastki wielomianu:
W ( x)  x(2 x  4)( x  3)( x 2  5)
• Szukamy argumentów, dla których W(x)=0. Wartość wielomianu W(x) jest
równa zeru tylko wtedy, gdy co najmniej jeden z tych czynników jest równy
zeru, zatem:
x  0  2x - 4  0  x  3  0  x 2  5  0
x  0  x  2  x  -3
(równanie x 2  5  0 jest sprzeczne)
Wielomian osiąga wartość zero dla argumentów 2, -3 oraz 0.
Wielomian W(x) ma trzy pierwiastki: 2, -3 oraz 0.
Twierdzenie 1 (Bezouta)
I. Jeśli liczba a jest pierwiastkiem wielomianu
W(x), to wielomian W(x) jest podzielny przez
dwumian (x-a).
II. Jeśli wielomian W(x) jest podzielny przez
dwumian (x-a), to liczba a jest pierwiastkiem
wielomianu W(x).
Przykład 3
• Nie wykonując dzielenia, zbadamy, czy
wielomianW ( x)  x 3  4 x  7 x  14
jest podzielny przez dwumiany: (x-2) oraz (x+1).
•
Obliczamy:
W (2)  23  4  2  7  2  14  0
W (1)  (1)  4  (1)  7  (1)  14  18
3
Liczba 2 jest pierwiastkiem wielomianu W(x), zaś liczba -1 nie jest
pierwiastkiem tego wielomianu. Zatem W(x) jest podzielny przez dwumian
x-2 i nie jest podzielny przez x+1.
Twierdzenie 2
• Liczba pierwiastków niezerowego wielomianu
W(x) jednej zmiennej rzeczywistej jest nie
większa niż stopień wielomianu W(x).