Tajemniczy ciąg Fibonacciego
advertisement
Przygotowali DANIEL STEC I KINGA SREBRO Leonardo Fibonacci włoski matematyk pochodzący z Pizy, żył w latach 1175-1250. Bez większej przesady można powiedzieć, że europejska matematyka po wielu wiekach uśpienia zaczęła się odradzać na przełomie XII i XIII wieku. Uważał 0 za pierwszą liczbę naturalną. Zajmował się rozkładem liczby na czynniki pierwsze. Pracował nad cechami podzielności. to ciąg liczb naturalnych określony w następujący sposób: Pierwsza liczba: 1 Druga liczba : 1 Trzecia liczba : 2 Czwarta liczba : 3 Każda następna liczba jest sumą dwóch liczb poprzednich. 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987, … Ciąg Fibonacciego ma zastosowanie w geometrii – pokrycie płaszczyzny kwadratami będącymi n-tym wyrazem ciagu. Ciąg Fibonaciego należy do ulubionych ciągów spotykanych w przyrodzie – można go odnaleźć w wielu jej aspektach – zarówno w kształtach fizycznych struktur, jak i w przebiegu zmian w strukturach dynamicznych. W XIII w. Leonardo Bonacci, postawił w jednym ze swych dzieł następujący problem: Ile par królików może spłodzić jedna para królików w ciągu roku, jeżeli staje się płodna po miesiącu, a w ciągu miesiąca może spłodzić jedną parę?. W pierwszym miesiącu jest jedna para królików, w następnym dalej jedna, gdyż jeszcze się nie rozmnożyła. W trzecim miesiącu są już dwie stara i młoda. W czwartym trzy, gdyż stara para rozmnoży się ponownie. W piątym miesiącu mamy pięć par, gdyż rozmnożyły się już dwie pary. Ogólnie każda kolejna liczba jest sumą dwóch poprzednich, jako że pierwsza z nich reprezentuje potomstwo płodnych par, a druga liczbę par dorosłych królików, która pozostaje bez zmian. Okazuje się, że ta błaha z pozoru zależność często odzwierciedlana jest w przyrodzie. Przyjrzyjmy się trutniom. Samiec pszczoły przeciwieństwie do samicy (królowej, która ma zarówno ojca, jak matkę – inną królową) powstaje wyłącznie dzięki matce. Jak więc wygląda jego drzewo genealogiczne? samiec ---- samica samica samiec ---- samica I I I samica samiec ---------- samica I I samiec --------------------------- samica I samica I samiec Również wśród roślin występuje ta zależność. Przykładem może być wszędobylski krwawnik, którego pędy rozwijają się zgodnie z naszym ciągiem. Jeszcze jedną ciekawostką dotyczącą ciągu Leonarda z Pizy jest spirala Fibonacciego. Najlepszym jej przykładem w przyrodzie są muszle. Gdyby spojrzeć na muszlę łodzika (morskiego mięczaka) w przekroju: widać, że ułożona jest spiralnie i zbudowana z szeregu komór, z których każda następna jest większa od poprzedniej dokładnie o tyle, ile wynosi wielkość tej poprzedniej. Wynika to z faktu, że im są większe, tym szybciej rosną. 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 Jeśli od kwadratu którejkolwiek liczby z ciągu Fibonacciego odejmiemy iloczyn liczb sąsiednich, to zawsze otrzymamy 1 lub -1. Sprawdź: