Liczby pierwsze

Ciekawe liczby
Joanna Czarnecka
18.12.2007 r.
Ciekawe liczby
Liczby doskonałe
Liczby zaprzyjaźnione
Liczby palindromiczne
Liczby lustrzane
Liczby automorficzne
Liczby względnie pierwsze
Liczby bliźniacze
Ciekawe liczby
Liczby
Liczby
Liczby
Liczby
Liczby
Liczby
Liczby
Fibonacciego
pierwsze
Fermata
Mersenne'a
kwadratowe
trójkątne
olbrzymy
Liczby doskonałe
Liczbę naturalną nazywamy doskonałą,
gdy jest sumą wszystkich swoich
dzielników właściwych.
Liczby doskonałe
Przykłady :
6, 28, 496,
ponieważ dzielniki właściwe tych liczb
(dzielnik właściwy liczby to każdy dzielnik
mniejszy od tej liczby):
D6 = { 1, 2, 3 } » 1 + 2 + 3 = 6
D28 = { 1, 2, 4, 7, 14 } »1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28
D496 = { 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248 } » 1 + 2 +
4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 = 496
Liczby doskonałe
Dotychczas znaleziono tylko 39 liczb doskonałych. Starożytni Grecy
przypisywali liczbie 6 szczególne znaczenie. Wcześni komentatorzy
Biblii upatrywali doskonałości liczb 6 i 28 specjalnego sensu. Bo czyż
nie w 6 dni został stworzony świat i czy Księżyc nie obiega Ziemi w
czasie 28 nocy? Wiele wymiarów w świątyni Salomona nawiązuje do
liczby sześć. Żyjący na przelomie I i II wieku Mikomachos, autor
"Arytmetyki", uważał, że obiekty doskonałe i piękne zawsze są rzadkie,
toteż nie należy się spodziewać, ż liczb doskonałych będzie dużo. I
rzeczywiście, Euklides zauważył, że liczby postaci 2p - 1(2p - 1) są
doskonałe, o ile 2p - 1 jest liczbą pierwszą. Dzięki temu mógł podać
dwie nowe liczby typu: 496 i 8128. Kolejną, piątą liczbę doskonałą
znaleziono dopiero w XV wieku - była to liczba 33550336. Dwa tysiące
lat po Euklidesie Leonhard Euler wykazał, że wszystkie parzyste liczby
doskonałe mają postać zaproponowaną przez Euklidesa. Euler znalazł
trzy kolejne liczby naturalne. Szczęśliwym dla liczb doskonałych był
rok 1952, kiedy po raz pierwszy do poszukiwań użyto maszyny liczącej.
Do tej pory znano ich tylko 12, w ciągu roku znaleziono kolejne 5.
Ostatnią znaleziono w 2001 roku.
Największą jest 213466916 * (213466917 - 1).
Liczby zaprzyjaźnione
Dwie liczby naturalne nazywamy
zaprzyjaźnionymi, gdy każda z nich jest
równa sumie dzielników właściwych
drugiej liczby (dzielnik właściwy liczby to
każdy dzielnik mniejszy od tej liczby).
Liczby zaprzyjaźnione
Przykłady:
220 i 284,
D220 = {1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110}
>> 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110
= 284
D284 ={1, 2, 4, 71, 142}
>> 1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220
Liczby zaprzyjaźnione
Każda liczba doskonała jest
zaprzyjaźniona ze sobą.
Liczby zaprzyjaźnione
Znanych jest blisko 8000 par liczb
zaprzyjaźnionych, nie wiadomo jednak, czy
istnieje ich nieskończenie wiele. Liczby
zaprzyjaźnione znane były już w szkole
Pitagorasa (VI w.p.n.e), przypisywano im
znaczenie mistyczne. Starożytni Grecy
wierzyli, że amulety z wygrawerowanymi
liczbami zaprzyjaźnionymi zapewniają
szczęście w miłości
Liczby palindromiczne
Liczbę naturalną, którą czyta się tak
samo od początku i od końca
nazywamy palindromem.
Liczby palindromiczne
Przykłady :
55, 494, 30703,22, 414, 5115...
Liczby lustrzane
Liczby lustrzane to takie dwie liczby,
które są lustrzanym odbiciem
Liczby lustrzane
Przykłady:
125 i 521,
68 i 86,
3245 i 5423,
17 i 71..
Ciekawostka
Jeżeli napiszemy dowolną liczbę i jej
lustrzane odbicie, np. 1221, to tak
otrzymana liczba jest podzielna przez
11. 1221 : 11 = 192
Liczby automorficzne
Liczby automorficzne to liczby, których
kwadrat kończy się tymi samymi cyframi co
same liczby.
Przykład:
762=5776
Liczby względnie pierwsze
Liczbami względnie pierwszymi nazywamy
liczby, których największym wspólnym
dzielnikiem jest 1.
Przykład:
NWD(7,13)=1
Liczby bliźniacze
Dwie liczby pierwsze różniące się o 2
to liczby bliźniacze.
Przykłady:
3 i 5, 5 i 7, 11 i 13, 17 i 19.
Liczby bliźniacze
Nie wiadomo do chwili obecnej, czy
istnieje nieskończenie wiele par liczb
bliźniaczych. Największą znaną parą
liczb bliźniaczych jest para
260497545 * 26625 + 1 i 260497545 *
26625 - 1
Liczby Fibonacciego
Liczbami Fibonacciego nazywamy liczby
naturalne tworzące ciąg o takiej
własności, że kolejny wyraz (z
wyjątkiem dwóch pierwszych) jest
sumą dwóch poprzednich
tj. 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13...
Liczby Fibonacciego
Nazwa pochodzi od imienia Leonarda z Pizy
zwanego Fibonaccim, który w 1202 podał ten
ciąg. Ciąg Fibonacciego to ulubiony ciąg
przyrody.Taki ciąg liczbowy opisuje np. liczbę
pędów rośliny jednostajnie przyrastającej w
latach (np. drzewa), róże kalafiora zielonego,
poczynając od czubka układają się w kształt
spiral. Jeśli obliczymy ilość lewo- i
prawoskrętnych spiral, to okaże się, że są to
liczby z ciągu Fibonacciego. Podobną ilość
spiral tworzą ziarna słonecznika czy łuski
szyszki.
Liczby pierwsze
Liczbę naturalną, która ma dokładnie dwa
dzielniki (1 i siebie samą), nazywamy liczbą
pierwszą.
Przykład:
2, 3, 5, 7, 11...
Liczby pierwsze
Liczb pierwszych jest nieskończenie
wiele. Znajdowanie ich nie jest jednak
łatwe. Od pewnego czasu używa się do
tego komputerów.
Liczby pierwsze
Największa znana dziś liczba pierwsza
została odkryta w lipcu 2001 roku przez
Michaela Camerona i George'a Woltmana
ma postać
213466917 – 1
Ma ona aż 4 miliony 53 tysiące 946 cyfr.
Liczby pierwsze
Po co szuka się takich olbrzymek?
Liczby pierwsze
Wielkie liczby pierwsze służą do testowania
mocy obliczeniowej superkomputerów. Bez
nich również nie moglibyśmy skutecznie
szyfrować informacji, bo klucze
najlepszych szyfrów oparte są na liczbach
pierwszych.
Są także bardzo użyteczne przy
konstruowaniu kodów korekcyjnych do
wyszukiwania błędów w przekazie obrazów i
danych (satelity, sondy kosmiczne...) oraz w
czytnikach CD wysokiej jakości
Liczby pierwsze
Świat liczb pierwszych do dziś stanowi
tajemnicę dla matematyków. Są
wielocyfrowe liczby pierwsze, które
składają się z samych jedynek, np. 23cyfrowa liczba 11 111 111 111 111 111 111 111.
Niektóre liczby pierwsze zapisane są
kolejnymi cyframi. Liczbą pierwszą jest
każda z liczb 23, 67, 89, 789, 456,
23456789, 1234567891. Niektóre liczby
pierwsze to palindromy, np. 11, 757,
111181111. Wśród liczb pierwszych są liczby
lustrzane, np. 13 i 31, 37 i 73, 79 i 97, 113 i
Liczby pierwsze
W XVIII wieku Christian Goldbach
dostrzegł, iż w każdym przypadku,
który wypróbował, dowolna liczba
parzysta większa od 4 może być
przedstawiona jako suma dwóch liczb
pierwszych. Na przykład 4 = 2 + 2, 6 =
3 + 3, 8 = 5 + 3, 48 = 29 + 19, 100 = 97
+ 3 itd.
Liczby Fermata
k
2
2 +
Liczby postaci Fk =
1, gdzie k jest
liczba całkowitą nieujemną nazywamy
liczbami Fermata.
Liczby Fermata
Matematyk francuski Pierre de
Fermat przypuszczał, że wszystkie
liczby mające tę postać są liczbami
pierwszymi. Okazało się, że liczby F0 =
3, F1 = 5, F2 = 17, F3 = 257, F4 =
65537 są liczbami pierwszymi,
natomiast F5 = 4294967297 jest
liczbą złożoną i dzieli się przez 641.
Liczby Mersenne’a
Liczby postaci 2p - 1, gdzie p jest liczba
pierwszą, nazywamy liczbami
Mersenne’a.
Liczby Mersenne’a
Liczby Mersenne'a zasługują na
szczególną uwagę, gdyż wśród nich
możliwe jest wskazanie największych
znanych liczb pierwszych. Największą
znaną obecnie liczbą Mersenne'a
pierwszą jest liczba 2216091 – 1.
Liczby Mersenne’a
Znalezienie każdej nowej liczby
Mersenne'a pierwszej powoduje
odkrycie nowej parzystej liczby
doskonałej.
Liczby kwadratowe
Liczby kwadratowe wyraża wzór
kn = n2 = 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1)
, gdzie n jest liczbą naturalną
Liczby kwadratowe
Nazwa "liczby kwadratowe" pochodzi
stąd, że każda taka liczba o numerze
n jest liczbą np. kół jednakowej
wielkości, z których można ułożyć
kwadrat o boku zbudowanym z n kół.
Liczby kwadratowe
Liczby kwadratowe są więc oczywiście
kwadratami kolejnych liczb ciągu
naturalnego. Stąd też wynika
twierdzenie, że suma kolejnych liczb
nieparzystych równa się kwadratowi
ich liczby.
Liczby trójkątne
Liczby trójkątne to liczby postaci
tk = k*(k + 1) / 2
, gdzie k jest liczbą naturalną. Liczba tk
jest sumą k kolejnych liczb naturalnych.
Przykłady liczb trójkątnych:
t1 = 1
t2 = 3
t3 = 6
Liczby trójkątne
Nazwa liczby trójkatne pochodzi stąd,
że tk jest liczbą monet jednakowej
wielkości, z których można utworzyć
trójkąt równoboczny o boku
zbudowanym z k monet.
Liczby olbrzymy
Jeden 1
Tysiąc 1 000
Milion 1 000 000
Miliard 1 000 000 000
Bilion 1 000 000 000 000
Biliard 1 000 000 000 000 000
Trylion 1 000 000 000 000 000 000
Tryliard 1 000 000 000 000 000 000 000
100
103
106
109
1012
1015
1018
1021
Liczby olbrzymy
Kwadrylion
Kwadryliard
kwintylion
Kwintyliard
Sekstylion
Sekstyliard
Septylion
Septyliard
1024
1027
1030
1033
1036
1039
1042
1045
Liczby olbrzymie
Septyliard 1045
Oktylion
1048
Oktyliard 1051
Nonilion
1054
Noniliard 1057
Decylion 1060
Centylion 10100
Centezylion 10600
KONIEC