Analiza Matematyczna 1 dla Matematyki WPPT, lista 2 Zadanie 1. Na wykładzie było udowodnione, że każdy ograniczony podzbiór N ma element największy. Wykaż, że ma też element najmniejszy. Zastanów się, dlaczego ten fakt jest równoważny zasadzie indukcji. Podaj przykład ograniczonego podzbioru liczb rzeczywistych, w którym nie ma ani liczby najmniejszej, ani największej. A jak to jest dla podzbiorów Z? Zadanie 2. Przypomnijmy, że dla x ∈ R określamy moduł czyli wartość bezwzględną x wzorem ( |x| = x, −x, gdy x ­ 0, gdy x < 0. Wykaż, że dla wszystkich a, b ∈ R mamy −|a| ¬ a ¬ |a| oraz |ab| = |a||b|. Sprawdź na przykładach, że może ale nie musi zachodzić równość |a + b| = |a| + |b|. Przy jakim warunku równość zachodzi? Zadanie 3. Oznaczmy przez max(a, b) większą (dokładniej: nie mniejszą) z liczb a, b, a przez min(a, b) mniejszą z tych liczb. Sprawdź, że a + b + |a − b| max(a, b) = 2 i spróbuj znaleźć podobny wzór na min(a, b). Zadanie 4. Stosując Zasadę indukcji, udowodnij prawdziwość poniższych wzorów: a) 1 + 2 + 3 + ... + n = 12 n(n + 1), b) 12 + 22 + 32 + ... + n2 = 16 n(n + 1)(2n + 1), c) 13 + 23 + 33 + ... + n3 = (1 + 2 + 3 + ... + n)2 , n+1 d) 1 + q + q 2 + q 3 + ... + q n = q q−1−1 dla q 6= 1. Zadanie 5. Udowodnij nierówność Bernoulliego: dla każdego n ∈ N oraz wszystkich x ­ −1 (1 + x)n ­ 1 + nx. Kiedy w tej nierówności zachodzi równość? Zadanie 6. a) Wykaż, że n prostych przechodzących przez ustalony punkt dzieli płaszczyznę na n + 1 obszarów. b) Wykaż, że dla n ­ 5 zachodzi nierówność n! > 2n . √ √ Zadanie 7. Udowodnij, że liczby 5 oraz 3 2 są niewymierne. Zadanie 8. (nierówność pomiędzy średnią arytmetyczną i średnią geometryczną) a) Wykaż, że dla wszystkich liczb rzeczywistych x, y > 0 zachodzi nierówność x+y √ ­ xy. 2 b) Korzystając z indukcji wykaż, że dla dodatnich x1 , x2 , ..., x2n i wszystkich n zachodzi nierówność √ x1 + x2 + ... + x2n 2n ­ x1 x2 ...x2n . 2n c)* Indukcja wsteczna: wiedząc, że nierówność pomiędzy średnimi zachodzi dla n + 1 liczb, wykaż, że zachodzi też dla n liczb. Wskazówka: Mając dane liczby dodatnie x1 , x2 , ..., xn+1 , podstaw w nierówności o średnich y1 = x1 , ys = x2 , ..., yn = xn oraz yn+1 = n1 (x1 + ... + xn ). d) Wywnioskuj z poprzednich punktów, że nierówność pomiędzy średnimi jest prawdziwa dla dowolnych n liczb nieujemnych. e) Kiedy w nierówności pomiędzy średnimi zachodzi równość? Zadanie 9. Dla dodatnich x1 , ..., xn liczbę n 1 +...+ x1 x1 n nazywamy ich średnią harmoniczną. Korzystając z nierówności pomiędzy średnią arytmetyczną i geometryczną wykaż, że średnia harmoniczna liczb dodatnich nigdy nie przewyższa ich średniej harmonicznej. √ √ Zadanie 10. Suma i iloczyn liczb wymiernych są liczbami wymiernymi. Oczywiście 2 + (− 2) = 0. A czy suma dodatnich liczb niewymiernych może być liczbą wymierną? A może być niewymierną? A jak to jest dla iloczynu?